Question

Sejam os vetores u⃗ = ( 1/2, -1), v = (2, 0), w⃗ = (2, 1) e t⃗ = (-1,3/5). Então, de acordo com os vetores dados, determine:
a) a soma de todos os vetores dados;
b) o módulo de: (⃗u − v - w⃗ + t⃗ )
c) a soma dos módulos de cada vetor;
d) - (v . w⃗)

Answer 1

$\texttt{Ol\'a! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}$

Podemos tratar esses vetores bidimensionais em termos de versores. Versores são vetores unitários que são responsáveis por transformar uma componente vetorial em um vetor propriamente dito. Perceba na imagem que o vetor decomposto produz uma componente cartesiana em x e outra em y em que esses são apenas escalares ( entidades que não possuem especificidades além de seu valor absoluto ).

Vista a imagem, vamos reescrever os vetores em termos de vetores unitários.

$\large \boxed{\tt \vec{u} = \tfrac{1}{2} \hat{i} - 1 \hat{j} \: \: \: }\\ \large \boxed{\tt \vec{v} = 2 \hat{i} + 0 \hat{j} \: \: \: }\\ \large \boxed{ \tt \vec{w} = 2 \hat{i} + 1 \hat{j} \: \: \:} \\ \large \boxed{\tt \vec{t} = - 1 \hat{i} + \tfrac{3}{5} \hat{j} }$

Conceito: A soma de dois vetores resulta em um vetor.

$\large \tt \vec{a} + \vec{b} = \vec{r} = \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \large \tt = (a_x\hat i + a_y \hat j ) + (b_x\hat i + b_y \hat j) \\ \large \red{ \underline{\boxed{\tt \therefore \: (a_x\hat i + b_x \hat i ) + (a_y\hat j + b_y \hat j)}}}$

No item a, é pedida a soma dos vetores dados. Bem, como ocorre essa soma. Perceba que eu coloquei em forma de vetores unitários para facilitar a soma, posto que ela é feita termo a termo, ou seja, componente î somada com componente î e componente ĵ somada com componente ĵ.

$\large \tt(\tfrac{1}{2} \hat{i} - 1 \hat{j}) + (2 \hat i) = \tfrac{5}{2} \hat i - 1 \hat j \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \large \tt( \tfrac{5}{2} \hat i - 1 \hat j ) + (2 \hat i + 1 \hat j) = \tfrac{9}{2} \hat i + 0 \hat j \: \: \: \: \\ \large \tt (\tfrac{9}{2} \hat i + 0 \hat j) + ( - 1 \hat i + \tfrac{3}{5} \hat j) = \tfrac{7}{2} \hat i + \tfrac{3}{5} \hat j \\ \large \red{\underline{\boxed{\tt \therefore\: \vec{r} = \tfrac{7}{2} \hat i + \tfrac{3}{5} \hat j \: \vee \: (\tfrac{7}{2}, \tfrac{3}{5}) }}}$

No item b, a questão pede o módulo da expressão vetorial. É simples, realiza-se as operações e por Pitágoras calcula-se o módulo do vetor resultante.

$\large \tt(\tfrac{1}{2} \hat{i} - 1 \hat{j}) - (2 \hat i) = \tfrac{ - 3}{2} \hat i - 1 \hat j \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \large \tt( \tfrac{ - 3}{2} \hat i - 1 \hat j ) - (2 \hat i + 1 \hat j) = \tfrac{ - 7}{2} \hat i - 2 \hat j \: \: \: \: \: \: \\ \large \tt (\tfrac{ - 7}{2} \hat i - 2 \hat j) + ( - 1 \hat i + \tfrac{3}{5} \hat j) = \tfrac{ - 9}{2} \hat i + \tfrac{ - 7}{5} \hat j \\ \large \red{\underline{\boxed{\tt \therefore\: \vec{r} = \tfrac{ - 9}{2} \hat i + \tfrac{ - 7}{5} \hat j \: \vee \: (\tfrac{ - 9}{2}, \tfrac{ - 7}{5}) }}}$

Ainda no item b, tendo o vetor calculado, basta calcular o módulo:

$\red{ \underline{ \boxed{\large \tt | \vec r| = \sqrt{(r_x)^{2} + (r_y) ^{2} }}} } \\ \large \tt \vec{r} = \tfrac{ - 9}{2} \hat i + \tfrac{ - 7}{5} \hat j \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \large \tt | \vec r| = \sqrt{( \tfrac{ - 9}{2} )^{2} + ( \tfrac{ - 7}{5} ) ^{2}} \: \: \\ \large \red{\underline{\boxed{\tt \therefore\: | \vec r| = 4.71}}}$

No item c, calcularemos o módulo dos vetores com a fórmula da questão passada:

Módulo de u:

$\large {\tt \vec{u} = \tfrac{1}{2} \hat{i} - 1 \hat{j}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \large \tt | \vec u | = \sqrt{( \tfrac{1}{2} )^{2} + ( - 1) ^{2} } \\ \large \red{ \underline{ \boxed{ \tt \therefore \: | \vec u| = \frac{ \sqrt{5} }{2} }}}$

Módulo de v:

$\large {\tt \vec{v} = 2 \hat{i} + 0 \hat{j}} \\ \large \tt | \vec v| = \sqrt{(2 )^{2} } \\ \large \red{ \underline{ \boxed{\tt \therefore \: | \vec v| = 2}}}$

Módulo de w:

$\large { \tt \vec{w} = 2 \hat{i} + 1 \hat{j} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \large \tt | \vec w | = \sqrt{( 2 )^{2} + ( 1) ^{2} } \\ \large \red{ \underline{ \boxed{ \tt \therefore \: | \vec w| = \sqrt 5}}}$

Módulo de t:

$\large {\tt \vec{t} = - 1 \hat{i} + \tfrac{3}{5} \hat{j} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\\ \large \tt | \vec t | = \sqrt{( - 1 )^{2} + ( \tfrac{3}{5} ) ^{2} } \\ \large \red{ \underline{ \boxed{ \tt \therefore \: | \vec t| = \frac{ \sqrt 34 }{ 5 } }}}$

Soma dos módulos:

$\large \tt \frac{ \sqrt{5} }{2} + 2 + \sqrt{5} + \frac{ \sqrt{34} }{5} \\ \large \red{\underline{\boxed{\tt \therefore\: \frac{3 \sqrt{5} }{2} + 2 + \frac{ \sqrt{34} }{5} \approx 6.52 }}}$

O item d, pede o produto escalar entre os vetores v e w. Esse tem como resultado um escalar. Posso por meio de deduções chegar nessas duas equações:

$\large \red{ \underline{\boxed{\tt\therefore \:\vec{a}\cdot \vec{b} = a \cdot b \cdot\cos \phi\;}}} \\ \large \red{\underline{\boxed{ \tt \therefore \: \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_yb_y}}}$

Utilizando as compontentes, temos:

$\large \tt \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_yb_y \\ \large \tt \vec{a} \cdot \vec{b} = 2\cdot 2 + 0\cdot 1 \\\large \red{\underline{\boxed{\tt \therefore\:\vec a \cdot \vec b = 4}}}$