Question

Sejam os vetores u = (1; 0;1), v = (2; 1; 0) e w = (x; y; z).

(a) Determine as componentes do vetor w de forma que os vetores {u,v,w}
gerem o espaço R3

Answer 1

Colocando os vetores em função da base temos:
(a, b, c) = a(1, 0, -1) + b(2, 1, 0) + c(x, y, z)
Transformando em um sistema (matriz), temos:
$\left[\begin{array}{ccc}1&2&x\\0&1&y\\-1&0&z\end{array}\right]$

Como o pivô na primeira linha e coluna é 1, não fazemos nada nessa linha. Agora temos que zerar os demais valores nas linhas dois e três. Como na segunda linha já temos zero, teremos apenas que verificar a terceira linha.

Para zerar a terceira linha temos que somá-la a primeira:
$\left[\begin{array}{ccc}1&2&x\\0&1&y\\0&2&x + z\end{array}\right]$

O pivô da segunda coluna é o elemento que está na segunda linha e segunda coluna. Como ele já é 1, não fazemos nada na segunda linha.
Agora temos que zerar os demais itens da segunda coluna.
- subtrair 2x a segunda linha pela primeira L1= (L1 - 2L2)
- subtrair 2x a segunda linha pela terceira L3 = (L3 - 2L2)

$\left[\begin{array}{ccc}1&0&x - 2y\\0&1&y\\0&0&x - 2y + z\end{array}\right]$

Com isso terminamos o escalonamento. Temos que o valor de y = -1, pois:

$0 + 1 + y = 0 \\ y = -1$

Substituindo y na primeira equação temos x = -3, pois:
$1 + 0 + x - 2y = 0 \\ 1 + x - 2(-1) = 0 \\ x + 2 + 1 = 0 \\ x + 3 = 0 \\ x = -3$

E finalmente substituindo x e y na terceira equação temos z = 1, pois:
$0 + 0 + x - 2y + z = 0 \\ -3 - 2(-1) + z = 0 \\ -3 + 2 + z = 0 \\ z - 1 = 0 \\ z = 1$

Logo as componentes do vetor w são: (-3, -1, 1)