Question

Sejam os vetores do R3
:

u⃗ = (1, n, 2) v = (0,1,0)

Se S representa o conjunto dos valores de n para que o ângulo entre u⃗ e v seja de 30o
podemos afirmar corretamente que:

Answer 1

Vamos usar o produto escalar.

Sendo dois vetores quaisquer $\vec{a} ( i, j, k ) \ e \ \vec{b} (o,p,q )$ o produto escalar entre eles será dado por :

$\vec{a}.\vec{b} = |a|.|b|.cos(\theta)$

onde :

$\vec{a}.\vec{b} = i.o + j.p + k.q$

$|a| =\sqrt{i^2+j^2+k^2}$

$|b| = \sqrt{o^2+p^2 + q^2 }$

$\theta =$ ângulo formado pelos vetores

A questão nos dá os vetores :

$\vec{u} = (1,n,2 )$  e  $\vec{v} = (0,1,0)$

e pede o valor de n para que o ângulo entre eles seja de 30º.

Vamos usar o produto escalar :

$\vec{u}.\vec{v} = |u|.|v|.cos(\theta)$

$\displaystyle 1.0 + n.1+ 2.0 = (\sqrt{1^2+n^2+2^2}).(\sqrt{0^2+1^2+0^2}).\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\displaystyle n = (\sqrt{5+n^2}).(\sqrt{1}). \frac{\sqrt{3}}{2}$

elevando ao quadrado dos dois lados :

$\displaystyle n^2 = \frac{(5+n^2).3}{4} \to 4.n^2 = (5+n^2).3$

$4n^2 = 15 + 3n^2 \to n^2 = 15$

tira a raiz quadrada dos dois lados

Portanto :

$\fbox{S : n = \pm \sqrt{15} }$