Question

Sejam os vetores a = 2i + 2j - k e b = 5i - 4j + 2k. Qual o valor do produto escalar entre eles?

Answer 1

Olá, bom dia ◉‿◉.

Temos que os vetores são expressos dessa forma:

• Vetor (a):

$\boxed{ \sf \vec{a} = ax_{\hat i} + ay_{ \hat j} + az_{ \hat k}}$

• Vetor (b):

$\boxed{ \sf \vec{b} = bx_{ \hat i} + by_{ \hat j} + bz_{ \hat k}}$

Agora vamos calcular o produto escalar entre eles com o intuito de estabelecer uma "fórmula":

• Produto escalar:

$\sf \vec{a}. \vec{b} = ( ax_{\hat i} + ay_{ \hat j} + az_{ \hat k}).( bx_{ \hat i} + by_{ \hat j} + bz_{ \hat k}) \\ \\ \sf{ \vec{a}. \vec{b}} = (ax.bx) \hat{i}. \hat{i} + (ax.by) \hat{i}. \hat{j} + (ax. bz) \hat{i}. \hat{k} \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf (ay.bx) \hat{j}. \hat{i} + (ay.by) \hat{j}. \hat{j} + (ay.bz) \hat{j}. \hat{k} \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf (az.bx) \hat{k}. \hat{i} + (az.by) \hat{k}. \hat{j} + (az.bz) \hat{k}. \hat{k}$

Essas letrinhas (i, j e k) simbolizam um eixo:

$\begin{cases}\sf i \rightarrow eixo\: x\\ \sf j \rightarrow eixo\:y \\ \sf k \rightarrow eixo\: z \end{cases}$

Sabendo disso, vamos calcular o módulo de cada um deles, mas você verá que não será necessário calcular o módulo de todos, pois aparecerá uma constância.

• Módulo (i.i)

Como i representa um eixo, essa expressão quer dizer que ele está sobre ele mesmo, ou seja, não forma nenhum ângulo, portanto o ângulo é 0°.

$\sf i.i = |i| . |i| . \cos \theta \\ \sf i.i = 1.1. \cos 0 \\ \sf i.i = 1.1.1 \\ \boxed{\sf i.i = 1}$

• Módulo de (i.j):

Esse já é diferente, pois um não está sobre o outro, como i representa o eixo (x) e j representa o eixo (y), eles são perpendiculares, ou seja formam um ângulo de 90°.

$\sf i.j = |i| . |j| . \cos \theta \\ \sf i.j = 1.1. \cos 90 \\\sf i.j = 1.1.0 \\ \boxed{\sf i.j = 0}$

Com isso podemos perceber que quando o produto é com "letras" diferentes o resultado é "0" e quando são letras iguais o resultado é "1", então vamos substituir esses valores:

$\sf \vec{a}. \vec{b} = ( ax_{\hat i} + ay_{ \hat j} + az_{ \hat k}).( bx_{ \hat i} + by_{ \hat j} + bz_{ \hat k}) \\ \\ \sf{ \vec{a}. \vec{b}} = (ax.bx).1 + (ax.by).0 + (ax. bz).0 \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf (ay.bx).0 + (ay.by).1 + (ay.bz).0 \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf (az.bx).0 + (az.by).0+ (az.bz).1 \\ \\ \boxed{\sf\vec{a}. \vec{b} = (ax.bx) + (ay.by) + (az.bz)}$

Com isso chegamos a uma fórmula que nos ajuda a calcular o produto escalar, sabendo dessa fórmula vamos calcular o produto escalar dos valores dados pela questão.

$\sf \vec{a} = 2i + 2j - 1k \\ \sf\vec{b} = 5i - 4j + 2k \\ \\ \sf\vec{a}. \vec{b} = (ax.bx) + (ay.by) + (az.bz) \\ \sf \vec{a}.\vec{b} = (2.5) + (2. - (4)) + ( - 1).2) \\ \boxed{ \sf \vec{a}.\vec{b} = 10i - 8j - 2k}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️