Question

Sejam os pontos m(-5,3,-5) e p(4,8,1) determine um vetor v colinear a PM e tal que |v|=raiz10

Answer 1

$PM = M - P = (-5, 3, -5) - (4, 8, 1) = (-9, -5, -6) \\ \\ \text{Seja } \vec{v} \text{\ um vetor colinear a PM, ent\~ao:} \\ \\ \vec{v} = k(-9,-5,-6) = (-9k, -5k, -6k) \\ \\ \text{A norma de }\vec{v} \text{\ \'e } \\ \\ ||\vec{v}|| = \sqrt{(-9k)^2+(-5k^2)+(-6k^2)} \\ ||\vec{v}|| = \sqrt{81k^2+25k^2+36k^2} \\ ||\vec{v}|| = \sqrt{142k^2} \\ \\ \text{Por\'em} \ ||\vec{v}|| = \sqrt{10}, \text{\ ent\~ao:}\\ \\ \sqrt{10} = \sqrt{142k^2} \ \ \ \textbf{elevando ambos os lados ao quadrado, ficamos com:}$

$10 = 142k^2 \\ \\ k^2 = \dfrac{10}{142} = \dfrac{5}{71}\\ \\ k = \pm \sqrt{\dfrac{5}{71}} = \pm \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{71}} = \pm \dfrac{\sqrt{355}}{71}$

$\text{Encontramos a constante k de proporcionalidade}\\ \\ \vec{v} = \pm \dfrac{\sqrt{355}}{71}(-9,-5,-6)$