Question

Sejam os pontos A(1, −4) , B(2, α) e C(3, −1). Qual é o valor de α para que o
triângulo ABC seja retângulo no vértice A ?

Answer 1

O valor de $\alpha$ para que o triângulo ABC seja retângulo é -14/3.

Podemos considerar os lados do triângulo como vetores. Se o produto escalar entre dois vetores for nulo, então os vetores são ortogonais.

Determinando os vetores

Os vetores $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$ pode ser calculado por:

$\overrightarrow{AB}=B-A\\\\\overrightarrow{AB}=(2-1,\alpha-(-4))\\\\\overrightarrow{AB}=(1,\alpha+4)$

$\overrightarrow{AC}=C-A\\\\\overrightarrow{AC}=(3-1,-1-(-4))\\\\\overrightarrow{AC}=(2,3)$

Produto escalar

Se o produto escalar entre os vetores $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=0$, então os lados do triângulo ABC serão perpendiculares, resultando em um triângulo retângulo. Efetuando o produto escalar entre os vetores:

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0\\(1,\alpha +4) \cdot (2, 3) = 0\\1 \cdot 2+(\alpha+4) \cdot 3 = 0\\2 + 3\alpha+12=0\\3 \alpha = -14\\\alpha =- \frac{14}{3}$

Logo, o valor de $\alpha$ para que o triângulo ABC seja retângulo é $- \frac{14}{3}$.

Para saber mais sobre produto escalar, acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/28106751

Espero ter ajudado, até a próxima :)