Question

Sejam os polinômios F e G, de graus 4 e 2,respectivamente. Se o polinômio (F + G)² é não nulo, então seu grau será sempre:

A) 16

B) 12

C) 8

D) 6

E) 4

Me ajudemmm

Answer 1

Resposta:

c) 8

Explicação passo a passo:

sabemos que $F(x) =ax^4 + bx^3+cx^2+dx+e$   e  $G(x) = fx^2+gx+h$

logo (F + G)² é

$(F+G)^2 =F^2 + 2FG+G^2$  mas observe que

$F^2 = (ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)^2\\F^2 = ax^4(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)+bx^3(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)+cx^2(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)+dx(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)+e(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)\\\\F^2 =(a^2x^8+abx^7+acx^6+adx^5+aex^4)+(abx^7+b^2x^6+bcx^5+bdx^4+bex^3)+(acx^6+bcx^5+c^2x^4+cdx^3+cex^2)+(adx^5+bdx^4+cdx^3+d^2x^2+dex)+(aex^4+bex^3+cex^2+dex+e^2)$

podemos ver que $x^8$ é a maior potencia.

Agora vamos ver G²

$G^2 = (fx^2+gx+h)^2\\G^2 = fx^2(fx^2+gx+h)+gx(fx^2+gx+h)+h(fx^2+gx+h)\\G^2 = f^2x^4+fgx^3+fhx^2+fgx^3+g^2x^2+ghx+fhx^2+ghx+h^2$

observe que $x^4$ é a maior potencia.

Agora vamos para 2FG, ou melhor, FG

$FG =(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)\cdot(fx^2+gx+h)\\FG =ax^4(fx^2+gx+h)+bx^3(fx^2+gx+h)+cx^2(fx^2+gx+h)+dx(fx^2+gx+h)+e(fx^2+gx+h)\\FG =afx^6+agx^5+ahx^4+bfx^5+bgx^4+bhx^3+cfx^4+cgx^3+chx^2+dfx^3+dgx^2+dhx+efx^2+egx+eh$

podemos observar que $x^6$ é a maior potencia.

ou seja (F+G)² tem três parcelas de $x^8$, $x^6$ e $x^4$

portanto seu grau será 8