Question

Sejam os anagramas formados com as letras da palavra granizo quantos começam e terminam por vogais

Answer 1

$\text{a) \;\;}$ Como GRANIZO possui $7$ letras e não possui letras repetidas. Então temos $7$ posições para encaixarmos $7$ letras diferentes: Assim:

$\boxed{\underline{\;?\;}\;\underline{\;?\;}\;\underline{\;?\;}\;\underline{\;?\;}\;\underline{\;?\;}\;\underline{\;?\;}\;\underline{\;?\;}\;}$


Então temos:

$7 \text{ possibilidades}$ para a $1^{a}$ letra;

$7-1=6 \text{ possibilidades}$ para a $2^{a}$ letra;

$6-1=5 \text{ possibilidades}$ para a $3^{a}$ letra;

$5-1=4 \text{ possibilidades}$ para a $4^{a}$ letra;

$4-1=3 \text{ possibilidades}$ para a $5^{a}$ letra;

$3-1=2 \text{ possibilidades}$ para a $6^{a}$ letra;

$2-1=1 \text{ possibilidade}$ para a $7^{a}$ letra.


Assim, o total de anagramas é dado por

$P_{7}=7!\\ \\ =7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\\ \\ =\boxed{5\,040 \text{ anagramas}}$


$\text{b) \;\;}$ Quantos anagramas começam e terminam por vogais?

Para melhor compreensão, vou representar estes anagramas assim:

$\boxed{\underline{\;\text{X}\;}\;\underline{\;\text{Y}\;}\;\underline{\;\text{Y}\;}\;\underline{\;\text{Y}\;}\;\underline{\;\text{Y}\;}\;\underline{\;\text{Y}\;}\;\underline{\;\text{X}\;}\;}$

onde cada posição com um $\text{"X"}$ possui uma vogal da palavra GRANIZO, sendo que a primeira e a última são diferentes; e cada posição com um $\text{"Y"}$ possui as letras restantes, depois de terem sido escolhidas as vogais inicial e final. O fato de $\text{"Y"}$ ser vogal ou consoante é irrelevante.

Vamos escolher as vogais inicial e final primeiro. Temos que

$\text{X} \in \{\textsf{A},\textsf{I},\textsf{O}\}$


Então temos

$3 \text{ possibilidades}$ para a vogal inicial;

$3-1=2 \text{ possibilidades}$ para a vogal final.


Com isso, nos restam $7-2=5 \text{ possibilidades}$ para as letras restantes, que temos que distribuir em $5$ posições diferentes. Sendo assim, para as letras intermediárias, temos

$5 \text{ possibilidades}$ para a $2^{a}$ letra;

$5-1=4\text{ possibilidades}$ para a $3^{a}$ letra;

$4-1=3 \text{ possibilidades}$ para a $4^{a}$ letra;

$3-1=2 \text{ possibilidades}$ para a $5^{a}$ letra;

$2-1=1 \text{ possibilidade}$ para a $6^{a}$ letra.


Assim, o total de anagramas que começam e terminam com vogal é dado por

$A_{3,2} \cdot P_{5}\\ \\ =(3 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)\\ \\ =\boxed{720 \text{ anagramas}}$

Answer 2

Resposta: 720

Explicação passo-a-passo: