Question

Sejam O a origem do sistema de eixos cartesianos e A o centro da circunferência de equação x² + y² - 2x -4y - 4 = 0. A equação de reta que passa pelos pontos A e O é:
y = 2x + 1
y = 2x - 1
y = x/2
y = 2x
y= x

Answer 1

Temos a seguinte equação:

$x {}^{2} + y {}^{2} - 2x - 4y - 4 = 0$

Para encontrar a reta que passa pelo centro dessa circunferência e a origem, devemos primeiro encontrar de fato o centro. Para encontrar o centro, vamos lembrar que a equação geral de uma circunferência é dada por:

$x {}^{2} + y {}^{2} - 2ax - 2by + \underbrace{k}_{a {}^{2} + b {}^{2} - r {}^{2} } = 0$

Sabendo disso podemos estabelecer igualdade entre alguns termos:

$- 2ax = - 2x \longrightarrow a = 1 \\ - 2by = - 4y \longrightarrow b = 2$

Com isso já encontramos o centro da circunferência, que é:

$A(a,b) \longrightarrow A(1,2)$

Agora é só usar mais algunas artimanhas de geometria analítica. A origem quer dizer o início do plano cartesiano, ou seja, O(0,0). Vamos calcular então o coeficiente angular do ponto O e do ponto A através da conhecida fórmula da divisão da variação das ordenadas pela variação das abscissas:

$m= \frac{\Delta y}{\Delta x} \longrightarrow m = \frac{ 1 - 0}{2 - 0} \longrightarrow m = \frac{1}{2}$

Por fim é só escolher um dos pontos e montar a equação através da equação fundamental da reta

$y - y_ 0 = m.(x - x_ 0) \\ y - 0 = \frac{1}{2} .(x - 0) \\ \boxed{ y = \frac{1}{2} x \: \: ou \: x - 2y = 0}$

Espero ter ajudado