Question

Sejam O a origem do sistema de eixos cartesianos e A o centro da circunferência de equação x2 + y2 - 2x - 4y -4 = 0. A equação de reta que passa pelos pontos A e O é:
a) y = 2x + 1
b) y = 2x -1
c) y = x/2
d) y = 2x
e) y = x

Ajuda pfv

Answer 1

Olá, boa tarde ◉‿◉

Temos que a equação geral de uma circunferência é dada por:

$\large \boxed{x {}^{2} + y {}^{2} - 2ax - 2by + k = 0}$

Sabendo disso, podemos encontrar o centro e raio dessa circunferência, por mais que o raio não vá influenciar no nosso cálculo vamos descobrir mesmo assim.

Para encontrarmos teremos que fazer uma comparação da equação geral da reta (original) com a equação geral da reta que a questão fornece.

Note que o elemento (-2x) ocupa o local de (-2ax) da equação original, ou seja, eles devem ser iguais, então vamos igualá-los.

$- 2ax = - 2x \\ - 2a = \frac{ - 2 \cancel x}{ \cancel x} \\ - 2a = - 2 \\ a = \frac{ - 2}{ - 2} \\ \boxed{a = 1}$

Vamos fazer a mesma coisa com o (-4y).

Ele ocupa o local de -2by, ou seja, iguais.

$-2by = - 4y \\ - 2b = \frac{ - 4 \cancel y}{ \cancel y} \\ - 2b = - 4 \\ b = \frac{ - 4}{ - 2} \\ \boxed{ b = 2}$

Portanto temos que o a coordenada do centro é dada por:

$A(1,2) \leftarrow \text{centro}$

Como um extra, vamos calcular o raio.

O "k" da circunferência pode ser representado como:

$\boxed{k = a {}^{2} + b {}^{2} - r}$

A própria equação fornece o valor de "k" que é (-4), então vamos substituir os dados:

$k = a {}^{2} + b {}^{2} - r {}^{2} \\ - 4 = (1) {}^{2} + (2){}^{2} - r {}^{2} \\ - 4 = 1 + 4 - r {}^{2} \\ - 4 - 4 - 1 = - r {}^{2} \\ - 9 = - r {}^{2} .( - 1) \\ 9 = r {}^{2} \\ r = \sqrt{9} \\ \boxed{r = 3}$

O raio seria "3".

A questão quer saber a equação da reta que passa pela origem e o centro da circunferência.

A origem quer dizer o início, ou seja.

O (0,0)

A partir disso e do centro, vamos calcular o coeficiente angular.

A fórmula do coeficiente é:

$\boxed{m = \frac{ya - yo}{xa - xo} }$

Organizando os valores para substituir depois:

$\begin{cases}A(1,2) \rightarrow xa = 1 \: \: \: \: \: ya = 2 \\ O (0,0) \rightarrow xo = 0 \: \: \: \: \: yo = 0\end{cases}$

Substituindo:

$m = \frac{2 - 0}{1 - 0} \\ \\ m = \frac{2}{1} \\ \\ \boxed{ m = 2}$

Para finalizar vamos substituir o valor do coeficiente e de uma das coordenadas na fórmula da equação da reta que é dada por:

$\boxed{y - yo = m.(x - xo)}$

Devemos substituir os valores da coordenada nas incógnitas (xo e yo).

Para isso escolha uma das duas coordenadas, como a gente não é besta, vamos escolher a com menores valores, ou seja, O (0,0).

$\boxed{O (0,0) \rightarrow xo = 0 \: \: \: \: yo = 0}$

Substituindo:

$y - 0 = 2.(x - 0) \\ \bf{\boxed{ \boxed{y = 2x}}} \leftarrow resposta$

Resposta: letra d)

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️