Question

Sejam N e D a soma dos algarismos do numerador e denominador, respectivamente, de um número. Determine a soma de N+D da fração geratriz formada pela seguinte expressão:
0,2222...\1,3333...

A} 4
B} 5
C} 6
D} 7
D}8

Answer 1

Faça $\mathsf{x=0,222...\,\,,\,\,y=1,333...}$

Vamos achar as frações geratrizes de x e y.

$\mathsf{x=0,222...}$

Multiplicando os dois lados por 10, temos

$\mathsf{10x=2,222...}\\\\\mathsf{10x=2+0,222...}$

Mas $\mathsf{0,222...=x}$, então

$\mathsf{10x=2+x}\\\\\mathsf{10x-x=2}\\\\\mathsf{9x=2\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,x=\dfrac{2}{9}}$
____________________

$\mathsf{y=1,333...}$

Multiplique os dois lados por 10:

$\mathsf{10y=13,333...}$

Vamos fazer 1,333... aparecer no lado esquerdo somando e subtraindo essa quantidade:

$\mathsf{10y=13,333...-1,333...+1,333...}\\\\\mathsf{10y=12+1,333...}$

Como $\mathsf{1,333...=y}$,

$\mathsf{10y=12+y}\\\\\mathsf{10y-y=12}\\\\\mathsf{9y=12\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,y=\dfrac{12}{9}}$


Então:

$\mathsf{\dfrac{0,222...}{1,333...}=\dfrac{x}{y}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{0,222...}{1,333...}=\dfrac{\big(\frac{2}{9}\big)}{\big(\frac{12}{9}\big)}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{0,222...}{1,333...}=\dfrac{2}{9}\cdot\dfrac{9}{12}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{0,222...}{1,333...}=\dfrac{2}{12}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{0,222...}{1,333...}=\dfrac{1}{6}}$

Logo, $\mathsf{N=1}$ e $\mathsf{D=6}$, então

$\mathsf{N+D=1+6=7}$

Resposta: d) 7