Question

 Sejam m e n inteiros ímpares. Prove que:


a)
4 | (2m – 2n)
 b)
8 | (m² - n²)
 c) 8 | (m² + n² - 2)

Answer 1

a) Se $m$ e $n$ são ímpares, podemos escrever

$m=2a+1$ e $n=2b+1$.

Logo,

$2m-2n=2(2a+1)-2(2b+1)=4a+4-4b-4=4a-4b=4(a-b)$

$4~|~(2m-2n)$

b) $m^2-n^2=(m+n)(m-n)=(2a+1+2b+1)(2a+1-2b-1)=(2a+2b+2)(2a-2b)$

$2a+2b+2=2(a+b+1)$,

$(2a-2b)=2(a-b)$

$(2a+2b+2)(2a-2b)=2(a+b+1)2(a-b)=4(a+b+1)(a-b)$.

Temos as possibilidades:

$a$ é par e $b$ é ímpar.

Assim, $a+b+1$ é par, ou seja, $a+b+1=2k$, com k inteiro.

O caso $b$ é par e $a$ é ímpar é análogo.

A outra situação é $a$ par e $b$ par.

$a+b+1$ é ímpar, mas $a-b$ é par.

Logo, $(a+b+1)(a-b)$ é divisível por $2$.

Com isso, $8~|~m^2-n^2$

Poderíamos fazer assim

$m^2=(2a+1)^2=4a^2+4a+1$

$n^2=(2b+1)^2=4b^2+4b+1$

$m^2-n^2=4a^2+4a-4b^2-4b=4(a^2+a-b^2-b)$.

Daí precisaríamos provar que, $2~|~a^2+a-b^2-b$.

Simples: veja que $a^2+a$ e $b^2-b$ têm a mesma paridade.

Logo, sua diferença é um número par.

c) $m^2=(2a+1)^2=4a^2+4a+1$

$n^2=(2b+1)^2=4b^2+4b+1$

$m^2+n^2-2=4a^2+4a+4b^2+4b=4(a^2+a+b^2+b)$.

Como vimos no item anterior, $a^2+a+b^2+b$ é um número par.

Logo, $8~|~m^2+n^2-2$