Question

Sejam K uma constante positiva e f : R → R satisfazendo:
$\lim_{x \to \infty} f(x) = - \infty, \\ \lim_{x \to \infty} f(x) = 0 ,\\f'(x) = K e^{-x} (3-x)$ , para todo x ∈ R.

a) Determine os pontos críticos, intervalos em que f é crescente e intervalos em que f é decrescente.
b) Determine f′′(x) e use o teste da derivada segunda para classificar os pontos críticos de f.
c) Determine os intervalos em que a concavidade do gráfico de f é para cima, os intervalo sem que ela ́e para baixo e os pontos de inflexão do gráfico de f.
d) Usando os itens anteriores, faça um esboço do gráfico de f supondo que
$f(2) = 0; \\f(3) = 1;\\f(4) = 0,73$

Answer 1

a)

Para determinar os pontos críticos da função e seus intervalos de crescimento e descrescimento, temos que analisar a primeira derivada de f, então:

• se f' > 0, f crescente
• se f' < 0, descrente
• se f'(x) = 0, ponto crítico

O enunciado já nos deu a primeira derivada de f, sendo:

                                    $\Large\displaystyle\begin{aligned}f'(x) = Ke^{-x}(3-x)\end{aligned}$

Temos que achar as raízes dessa função, ou seja:

                                        $\Large\displaystyle\begin{aligned}Ke^{-x}(3-x) = 0\end{aligned}$

Lembre-se que exp(-x) jamais vai ser zero, portanto a única maneira de a função ser 0 é:

                                       $\Large\displaystyle\begin{aligned}Ke^{-x}\underbrace{(3-x)}_{ = 0} &= 0\\ \\(3-x) &= 0\\ \\x = 3\end{aligned}$

Logo esse é o único ponto crítico da função

Para analisar o crescimento e descrescimento temos que ver o sinal da função, como temos que exp(-x) nunca vai ser negativo, e o enunciado diz que K é positiva, logo o sinal fica por conta de (3-x) novamente.

                                             $\Large\displaystyle\begin{aligned}3-x &\geq 0\\ \\-x &\geq -3\\ \\x &\leq 3\end{aligned}$

Então:

$\Large\displaystyle\begin{aligned}&]-\infty, \, 3[ \text{ f \'e crescente}\\ \\&]3, \, +\infty[ \text{ f \'e descrescente}\end{aligned}$

b)

Utilizando a regra do produto podemos determinar f'':

$\Large\displaystyle\begin{aligned}Ke^{-x} = u\\ \\(3-x) = v\\ \\ \\\end{aligned}$

Então aplicando a regra:

                               $\Large\displaystyle\begin{aligned}f''(x) &= u'v + uv'\\ \\f''(x) &= -Ke^{-x}(3-x) -Ke^{-x}\\ \\f''(x) &= -Ke^{-x}(1 + (3-x))\\ \\f''(x) &= -Ke^{-x}(4-x)\\ \\f''(x) &= Ke^{-x}(x-4)\\ \\\end{aligned}$

O teste da segunda derivada consiste em:

• se f''(c) < 0, então c é um ponto de máximo de f
• se f''(c) > 0, então c é um ponto de minímo de f

Lembrando que c é um ponto crítico. Nosso único ponto crítico é 3, então:

$\large\displaystyle\begin{aligned}f''(3) &= Ke^{-3}(3-4)\\ \\f''(3) &= -Ke^{-3} < 0 \Rightarrow x = 3 \text{ \'e um ponto de m\'aximo da fun\c c\~ao}\\ \\\end{aligned}$

E esse tem como valor

                                          $\Large\displaystyle\begin{aligned}\max\{f\} = \frac{K}{e^3}\end{aligned}$

Obs: depois de ler o item d, verifique o máximo de f.

c)

Para determinar as concavidades o processo é semelhante a primeira derivada, porém

• se f'' > 0, concavidade para cima
• se f'' < 0, concavidade para baixo
• se f''(x) = 0, ponto de inflexão

Como já calculamos a derivada segunda da função vamos apenas usar ela, como no item b o sinal e a raiz é dado pela equação de primeiro grau multiplicando o exponencial.

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}f''(x) = Ke^{-x}(x-4)\\ \\Ke^{-x}\underbrace{(x-4)}_{ = 0} = 0\\ \\x-4 = 0\\ \\x = 4\end{gathered}$

Logo x = 4 é um ponto de inflexão, e o sinal da função vai ser dado por:

                                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}x - 4 \geq 0 \\ \\x \geq 4\end{gathered}$

Então concluímos que

$\Large\displaystyle\begin{aligned}&]-\infty, \, 4[ \text{ f tem concavidade para baixo}\\ \\&]4, \, +\infty[ \text{ f tem concavidade para cima}\end{aligned}$

d)

Esboço do gráfico em anexo.

Por curiosidade, a função f pode ser obtida por um processo de integração simples:

                   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}f(x) = \int Ke^{-x}(3-x)\,dx\\ \\f(x) =\int 3Ke^{-x} \,dx - \int Ke^{-x}x\,dx \\ \\f(x) =\,3Ke^{-x} - K\underbrace{\int e^{-x}x\,dx}_{\text{ integre por partes}}\\ \\f(x) = 3Ke^{-x} -Ke^{-x}(1-x)\\ \\f(x) = Ke^{-x}(x-2) + C\\ \\\end{gathered} }$

Como o enunciado deu um valor é fácil achar a constante.

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}f(2) = 0 \Rightarrow C = 0\end{gathered}$

E com o outro ponto podemos determinar K:

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered}f(3) = 1 \Rightarrow Ke^{-3} = 1\\ \\K = e^3\end{gathered}$

Ou seja, podemos afirmar que nossa função original é dada por:

                             $\Large\displaystyle\begin{aligned}f(x) = e^{-x+3}(x-2)\end{aligned}$

Obs: calcule o f(4) com a função acima.

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respondo nos comentários

Veja mais sobre em:

brainly.com.br/tarefa/40920050