Question

Sejam K um corpo e a,b∈K. Mostre que:
a) (-a)∙b=a∙(-b)=-(a∙b)
b) (-a)∙(-b)=a∙b

Answer 1

1) Para resolver o problema proposto, devemos entender que o símbolo ∈ significa pertence na matemática, ou seja, a e b pertencem ao corpo K.

2) Assim, adotando valores para a e b para facilitar o entendimento do problema, teremos:

a = 2

b = 1

3) Por fim, realizando a prova de cada pergunta apresentada pelo problema, teremos:

a) (-a) * b = a * (-b) = -(a * b)

• Primeiro (-a) * b:

Total = (-a) * b

Total = (-2) * 1

Total = -2

• Segundo a * (-b):

Total = a * (-b)

Total = 2 * (-1)

Total = -2

• Terceiro -(a * b):

Total = -(a * b)

Total = - (2 * 1)

Total = -2

• Assim, é possível provar que (-a) * b = a * (-b) = -(a * b) e verdadeiro, pois todas as operações equivalem a -2!

b) (-a) * (-b) = a * b

• Primeiro (-a) * (-b):

Total = (-a) * (-b)

Total = (-2) * (-1)

Total = 2

• Segundo a * b:

Total = a * b

Total = 2 * 1

Total = 2

• Assim, é possível provar que (-a) * (-b) = a * b é verdadeiro pois todas as operações equivalem a 2!

Answer 2

Um corpo é um anel comutativo com unidade onde cada elemento não nulo admite simétrico múltiplicativo.

Matematicamente:

Um anel K, comutativo e com unidade, recebe o nome de corpo se todo elemento não nulo de K admite simétrico multiplicativo. Ou seja:

$\forall\,a\in\,K\,a\ne0\rightarrow\,\exists\,b\in\,K/ab=1$

De posse disso, um corpo K goza de todas as propriedades de um anel (A,+, ×)

Em relação a segunda operação temos

$\forall\,a,b,c\in\,K\:(ab)c=a(bc)$

Demonstração:

a)

$(-a).(b)=-1(a).(b)=-1.(b).(a)=(-b).(a)\\=-1(b.a) =-1(a.b) =-(a.b) \#$

b)

$(-a).(-b)=(-1).[a].(-1)[b] =(-1).[a].[b](-1)\\(-1).[a.b].(-1)=(-1).(-1)[a.b]=a.b\#$