Question

Sejam k e p dois n´umeros reais tais que os n´umeros complexos z = 1 + i e w = (k − 1) + 2p i11 sejam
inversos um do outro.
Qual ´e o valor de k + p?

Answer 1

 Gabriel, é necessário que saiba a importância de postar um enunciado com clareza.

 Quanto à questão, podemos fazê-la como segue, veja:

 Inicialmente, "atacamos" a informação de que os números complexos são inversos um do outro. Assim, temos que: $\mathsf{z = z^{- 1} = w}$

 Encontremos o inverso de "z",

$\\ \mathsf{z^{- 1} = (1 + i)^{- 1}} \\\\ \mathsf{z^{- 1} = \frac{1}{1 + i} \times \frac{1 - i}{1 - i}} \\\\ \mathsf{z^{- 1} = \frac{1 - i}{1 - i^2}} \\\\ \mathsf{z^{- 1} = \frac{1 - i}{1 - (- 1)}} \\\\ \boxed{\mathsf{z^{- 1} = w = \frac{1}{2} - \frac{i}{2}}}$

 Agora, devemos comparar o complexo "w" obtido com o que foi dado no enunciado. Mas, antes de prosseguirmos, devemos "eliminar" o expoente de i. Segue,

$\\ \mathsf{i^{11} =} \\ \mathsf{i^{8 + 3} =} \\ \mathsf{i^8 \cdot i^3 =} \\ \mathsf{(i^2)^4 \cdot (- i) =} \\ \mathsf{(- 1)^4 \cdot (- i)} \\ \mathsf{- i}$

 Por conseguinte,

$\\ \mathsf{z^{- 1} = w} \\\\ \mathsf{\frac{1}{2} - \frac{i}{2} =(k-1)-2p\cdot i}$

 Por comparação, real com real e imaginária com imaginária, temos que:

$\\ \mathsf{k - 1 = \frac{1}{2}} \\\\ \mathsf{k = \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \\\\ \boxed{\mathsf{k = \frac{3}{2}}}$

E,

$\\ \mathsf{- 2p = - \frac{1}{2}}\\\\\boxed{\mathsf{p=\frac{1}{4}}}$

 Por fim,

$\\ \mathsf{k + p = \frac{3}{2} + \frac{1}{4}} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{k + p = \frac{7}{4}}}}$