Question

Sejam I⊂R um intervalo aberto e f: I→R uma função.
Dado a ∈ I, lembre que a reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)) é a (única) reta que passa pelo ponto (a, f(a)) e tem inclinação igual a
f′(a) = lim x→ a f(x)−f(a)/ x−a

quando o limite existe. Neste caso, a equação da reta tangente y=y(x) ́e dada por y−f(a) =f′(a)(x−a).
Para a função abaixo, determine a equação da reta tangente no ponto dado:

f(x) = 1/x ; a=−2

Answer 1

Resposta:

f  ′  (−2) = −1/4

e a reta tangente no ponto  (−2, f(−2)) é y = -1/4x + 1.

Explicação passo a passo:

1) Primeiro, substituir o valor de a em x:

f(-2) = -1/2

2) Depois, encontrar a derivada da função f(x) = 1/x.

f(x) = 1/x

f '(x) = -1 * x ^-1-1

f '(x) = -1 * x^-2

f '(x) = -1 * (1/x^2)

f '(x) = -1 / x^2.

3) Substituir a função derivada para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto ( -2, -1/2 ). (Descobrimos esse ponto no primeiro passo, substituindo o valor de x por a na função dada):

f ' (a) = 1/x

f ' (-2) = -1/(-2^2)

f ' (-2) = -1/4.

4) E finalmente encontrar a equação da reta tangente no ponto dado usando a equação dada no problema:

y−f(a) =f′(a)(x−a)

y - f (-2) = f ' (-2) ( x - (-2))

y - (-1/2) = (-1/4) (x - (-2))

y - (-1/2) = -1/4x + 1/2

y = -1/4x + 1/2 + 1/2

y = -1/4x + 1.