Question

Sejam g(x) e h(x) duas funções diferenciáveis. A derivada do quociente entre g(x) (numerador) e h(x) (denominador). como a diferença entre o produto de h(x). g(x) e de h (x). g(x). tudo dividido por h(x) elevado ao quadrado. Considerando essas informações calcule a derivada do quociente entre g(x) e h(x). sendo g(x) = x + 2 e h(x) = x2 + 3 e assinale a alternativa correta

Answer 1

Aplicando a regra de derivação do quociente entre duas funções teremos:

$f'(x)=\dfrac{3-4x-x^2}{x^4+6x^2+9}$

Cálculo Diferencial - Derivada do Quociente

Na derivação é preciso identificar qual o tipo de função para poder aplicar a regra de derivação adequada e de forma correta, visto que há diversas regras de derivação como: derivada do produto, derivada do quociente, derivada de potência, regra da cadeia, entre outras.

Para responder a esta questão será necessário aplicar a regra de derivação para o quociente de duas funções.

$\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2}$

Seja a função f(x) definida como o quociente entre g(x) = x + 2 e h(x) = x² + 3, aplicando a regra de derivação teremos:

$f(x)=\dfrac{x+2}{x^2+3}\\\\f'(x)=\dfrac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{[h(x)]^2}\\\\f'(x)=\dfrac{1\cdot (x^2+3)-(x+2)\cdot 2x}{(x^2+3)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{x^2+3-2x^2-4x}{x^4+6x^2+9}\\\\f'(x)=\dfrac{3-4x-x^2}{x^4+6x^2+9}$

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