Question

Sejam f(x) = x2 + x e g(x) = x + m. Determine m para que se tenha fog(2) = 12. Com cálculos por favor.

Answer 1

Olá!
Conceito Envolvido: # Função Composta

Temos:
f(x) = x²+x
g(x) = x+m
fog(2) = 12
Lembre-se de transformar fog ou gof para facilitar:
f[g(2)] = 12 -> Mas quem é esse? Primeiro vamos descobrir a função composta fog. Temos:
f[g(x)] = (x+m)²+x+m -> Agora sim:
f[g(2)] = (2+m)² + 2 + m -> Trabalhando os produtos notáveis:
f[g(2)] = 4+4m+m²+2+m -> como fog(2) = 12:
  12 = m²+5m+6 -> Passando o 12 negativo:
m²+5m-6 = 0 -> Calculando por bháskara:
Δ = b²-4ac
Δ = 25-4.1.(-6)
Δ = 49

m' = -b+√Δ / 2a = -5+7/2 = 1 <---
m'' = -b-√Δ / 2a = -5-7/2 = -12/2 = -6 <---

Provando:
Para m = 1:
f[g(2)] = (2+1)²+2+1
f[g(2)] = 9+2+1
f[g(2)] = 12
   12 = 12 (V) -> Portanto m = 1;
Para m = -6:
f[g(2)] = (2-6)²+2-6
f[g(2)] = 16+2-6
f[g(2)] = 12
  12 = 12 (V) -> Portanto m também é igual a -6
Portanto: S = {-6,1}

Espero ter ajudado! :)