Question

Sejam f(x) = x²+1 e g(x) = x²-1. Então a equação f(g(x))-g(f(x)) = -2 tem duas soluções reais. O produto das duas soluções é igual a :

a)-2
b)-1
c)0
d)1
e) 2

Answer 1

$f(x)=x^2+1~~\text{ e }~~g(x)=x^2-1$


Sendo assim,

$\bullet\;\;f\big(g(x)\big)=\big(g(x)\big)^2+1\\\\ f\big(g(x)\big)=(x^2-1)^2+1\\\\\\ \bullet\;\;g\big(f(x)\big)=\big(f(x)\big)^2-1\\\\ g\big(f(x)\big)=(x^2+1)^2-1\\\\\\ \bullet\;\;f\big(g(x)\big)-g\big(f(x)\big)\\\\ =\big[(x^2-1)^2+1\big]-\big[(x^2+1)^2-1\big]\\\\ =(x^2-1)^2+1-(x^2+1)^2+1\\\\ =(x^2-1)^2-(x^2+1)^2+2\\\\ =\big[(x^2-1)^2-(x^2+1)^2\big]+2~~~~~~\mathbf{(i)}$


Observe que o termo em colchetes é uma diferença entre quadrados, e sabemos por produtos notáveis que

$a^2-b^2=(a+b)\,(a-b)$


Para $a=x^2-1$ e $b=x^2+1\,,$ o termo em colchetes fica

$(x^2-1)^2-(x^2+1)^2\\\\ =\big[(x^2-1)+(x^2+1)\big]\cdot \big[(x^2-1)-(x^2+1)\big]\\\\ =\big[x^2-\diagup\!\!\!\! 1+x^2+\diagup\!\!\!\! 1\big]\cdot \big[\diagup\!\!\!\!\! x^2-1-\diagup\!\!\!\!\! x^2-1\big]\\\\ =\big[2x^2\big]\cdot \big[-2\big]\\\\ =-4x^2\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c} (x^2-1)^2-(x^2+1)^2=-4x^2 \end{array}}$


Substituindo em $\mathbf{(i)}\,,$ finalmente obtemos

$f\big(g(x)\big)-g\big(f(x)\big)=-4x^2+2$

____________________

Resolvendo a equação pedida

$f\big(g(x)\big)-g\big(f(x)\big)=2\\\\ -4x^2+2=2\\\\ -4x^2+2-2=0\\\\ -4x^2=0\\\\ x^2=0\\\\ x_1=x_2=0$


As duas soluções são nulas. Logo, o produto das duas soluções é zero.

Resposta: alternativa $\text{c) }0.$

Answer 2

Resposta:

b) -1

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente, é preciso achar as funções compostas:

f(g(x)) = (x²- 1)² + 1

f(g(x)) = (x^(4) - x² - x² + 1) + 1

f(g(x)) = x^(4) - 2x² +2

g(f(x)) = (x² + 1)² - 1

g(f(x)) = (x^(4) + x² + x² + 1) - 1

g(f(x)) = x^(4) + 2x²

Como não se pode resolver um x^(4), fazemos y = x², substituindo

f(g(x)) = y² - 2y + 2

g(f(x)) = y² + 2y

Logo, poderemos ir para a equação pedida: f(g(x)) - g(f(x)) = -2, substituindo

y² - 2y + 2 - (y² + 2y) = -2

Relembrando, multiplicar o menos dentro do parêntesis

y² - 2y + 2 - y² - 2y = -2

-4y + 2 + 2 = 0

-4y + 4 = 0

4 = 4y

y = 1

Agora, temos que transformar y em x novamente, logo

x² = y

x² = 1

x = $\sqrt{1}$

x = 1   ou   x = -1

Agora, poderemos fazer o produto das raízes

1 . -1 = -1

A RESPOSTA É LETRA B.