Question

Sejam f(x)=x e g(x) =senx.Mostre que f e g são uniformemente contínuas em R.Mas o produto,f.g não é.

Answer 1

Olá, Iaracruz.

Se uma função qualquer tem derivada limitada em $\mathbb{R}$, então, pelo Teorema de Lagrange, esta função é uma função de Lipschitz. Isto implica que ela é uniformemente contínua em $\mathbb{R}$.

Resumindo o teorema acima:

$\boxed{\text{A derivada da fun\c{c}\~ao \'e limitada}}\Rightarrow\boxed{\text{a fun\c{c}\~ao \'e Lipschitz}}\Rightarrow\\\\ \boxed{\text{a fun\c{c}\~ao \'e uniformemente cont\'inua}}$

$\begin{cases}f(x)=x\Rightarrow f'(x)=1\\g(x)=\sin x\Rightarrow g'(x)=\cos x \leq 1,\forall x\in\mathbb{R}\end{cases}$

Como as derivadas das funções $f(x)$ e $g(x)$ são limitadas, então, pelo teorema, $f(x)$ e $g(x)$ são uniformemente contínuas.

Por outro lado:

$[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=\underbrace{\sin x}_{ \leq 1}+\underbrace{x\cos x}_{<+\infty}<+\infty$

Como a derivada de $f(x)g(x)$ não é limitada, então $f(x)g(x)$ não é uniformemente contínua.