Question

Sejam f(x)= raiz quadrada de x e g(x)= x elevado a 2, determine:

a. (fof)(-3)
b. (gof)(-3)
c. (gof)(-3)
d. Dfog
e. Dgof

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Crisbfg,com as suas explicações, teremos isto: dadas as funções abaixo:

f(x) = √(x)
e
g(x) = x²

Calcule:

a) f[f(-3)]  ---- veja: para isso, primeiro vamos encontrar quanto é f(-3). Para isso, iremos na função f(x) = √(x) e substituiremos o "x" por "-3". Assim, calculando quanto é f(-3), teremos:

f(-3) = √(-3) ----- como não há raízes de índice par de números negativos, então somos obrigados a informar que f(-3) não existe e nem f[f(-3)] também não irá existir, pois f[f(-3)] seria isto: f[f√(-3)] <--- Como não existe √(-3), então f[f(√(-3) também não existirá.

b) g[f(-3)] ----- como f(-3) não existirá, então g[f(-3)] também não existirá, pois sendo g(x) = x², então g[f(-3)] irá ser: g(√(-3)] = g[f(√(-3)] = [-√(-3)]² = -3 . Mas como não existe √(-3), então g[f(√(-3)] também não existirá.

c) Note que o item "c" está repetindo o item "b". Como já vimos que não existe o item "b" então também também não existirá o item "c".

d) Dê o domínio de f[g(x)] .
Veja: como função g(x) = x², então quando se pede f[g(x)] estaremos, na verdade, pedindo isso: f(x²). Então vamos na função f(x) = √(x) e, no lugar de x colocamos "x²". Assim:

f[g(x)] = √(x²) ------- veja que o "x", por estar ao quadrado, sairá de dentro da raiz quadrada, ficando da seguinte forma:

 f[g(x)] =  x <--- Este é o valor de f[g(x)]].

Agora veja: não há nenhum problema que "x" assuma qualquer valor real, pois não há restrições  quanto a isso..
Logo, o domínio f[g(x)] = x serão todos os reais, o que você, se quiser, poderá apresentar assim:

D = {x ∈ R}

Ou ainda, também se quiser, o domínio de f[g(x)] poderá ser dado da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

D = (-∞; +∞).

e) Dê o domínio de g[f(x)]. Veja: como f(x) = √(x), então estamos, na verdade, pedindo isto: g[√(x)]. Então vamos na expressão g(x) = x² e, no lugar de "x" colocamos "√(x)". Assim:

g[f(x)] = [√(x)]² ---- note que isto é a mesma coisa que:
g[f(x)] = √(x²) ---- como o "x" está elevado ao quadrado, então ele sairá de dentro da raiz quadrada, ficando:

g[f(x)] = x ----- Note: que g[f(x)] = f[g(x)] , quando já vimos que o domínio são todos os Reais. Então, para a questão do item "e", basta repetir o domínio que já vimos para o item "d".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Agora veja que fizemos isso de uma forma meio precária, pois estamos apenas aproveitando as explicações que você deu nos comentários acima. Em outra oportunidade, por favor, coloque o enunciado da questão exatamente como ele deveria ser no local próprio para isso, certo?

OK?
Adjemir.