Question

Sejam f(x) = loga x e g(x) = ax , mostre que f(g(x)) = g(f(x)) = x. [Obs.: Neste caso, podemos concluir que g(x) = f −1 (x) ou que f(x) = g −1 (x)]

Answer 1

Sejam f(x) = logₐ x e g(x) = aˣ, podemos mostrar que f(g(x)) = g(f(x)) = x.

Logaritmos

Pela definição de logaritmo, sabemos que a base do logaritmo elevado ao resultado do mesmo é igual ao logaritmando, ou seja:

logₐ x = b

aᵇ = x

De acordo com o enunciado, temos que f(x) = logₐ x e g(x) = aˣ, então, temos que:

f(g(x)) = f(aˣ) = logₐ aˣ

Pela propriedade do logaritmo de potência:

f(g(x)) = x· logₐ a

f(g(x)) = x

Da mesma forma, teremos o resultado dado que n^logₙ c = c:

g(f(x)) = g(logₐ x) = a^(logₐ x)

g(f(x)) = x

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