Question

Sejam f(x) = log4x e g(x) = -x2 + 4x - 3, ambas definidas no domínio (0,4].
Quantos pontos há em comum nessas duas funções?

Answer 1

Sejam $f, g: I = ]0, 4] \to \mathbb{R}$ as funções definidas por $f(x) = \log_4 x$ e $g(x) = -x^2 + 4x -3$.

Ora, neste intervalo, $f$ é estritamente crescente por ser logarítmica, logo é injetiva. Para $g$, a situação requer mais cuidado, pois pode ter extremos no intervalo $I.$

Verificamos se tal ocorre, a partir da derivada:
$g'(x) = -2x + 4 \implies g'(x) = 0 \iff -2x+4 = 0 \iff x = 2 \in I.$

Assim, consideramos 2 subintervalos $U = [\varepsilon, 2]$, com $\varepsilon>0$, e $V = [2, 4]$ e a função auxiliar $h: ]0, 4] \to \mathbb{R}$ dada por $h(x) = f(x) - g(x)$. Notamos que esta função só se anula nos pontos de interseção das anteriores.

Visto que $f, g$ são contínuas em $I$, $h$ também será. Assim, podemos tentar aplicar o teorema de Bolzano.

Começamos por fazê-lo em $V = [2, 4]$:
•$h(4) = \log_4 4 - (-4^2 + 4\cdot 4 -3) = 1 + 16 - 16 + 3 = 4 > 0;$
• $h(2) = \log_4 2 -(-2^2 + 4\cdot 2 - 3) = 0.5 + 4 - 8 + 3 = -0.5 < 0.$
Como $h$ é contínua e muda de sinal, tem pelo menos um zero no intervalo $V$, pelo que existe pelo menos um ponto de interseção entre $f$ e $g$ em $]2,4[.$

No intervalo $U$, a situação é mais complexa, pois o intervalo I era aberto à esquerda, uma vez que não podemos definir o logaritmo de 0. No entanto, podemos considerar um valor de $\varepsilon>0$ tal que $h(\varepsilon) > 0,$ de forma a ter sinal contrário ao de $h(2)$. Tomando por exemplo $\varepsilon = 0.5$, obtemos $h(0.5) = \log_4 0.5 - (-0.5^2 + 4\cdot 0.5 - 3) =0.75 > 0.$ Assim, conclui-se, do mesmo modo que anteriormente, que existe pelo menos um ponto de interseção em $]0.5,2[$. Neste caso, era trivial verificar que esse ponto tem abcissa 1.

Resta agora provar que não existem mais pontos. Como $f$ e $g$ são ambas injetivas em cada uma das restrições tomadas anteriormente, apenas se podem intersetar, no máximo, uma vez em cada uma. Como provámos que isso ocorre pelo menos uma vez em cada uma, concluímos que existem exatamente 2 pontos de interseção.