Sejam f(x) e g(x) ∈ ℝ não constantes e n e m inteiros positivos. Mostre que y elevado a m − f (x) divide y elevado a n − g(x) em ℝ[, ] se, e somente se, m divide n e g ( x) = f ( x ) elevado n /m obs: Escrevi elevado porque não consegui colocar em forma de potência.
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Escrevendo n = qm + r, com 0 = r < m, e
y^n - g(x) = y^r(y^qm - f(x)^q) + f(x)^q . y^r - g(x);
usando o fato de que y^qm - f(x)^q e divisível por y^m - f(x), concluímos que,
se y^n - g(x) e divisível por y^m - f(x), f(x)^q . y^r - g(x) também é
Como o grau em y de f(x)^q . y^r - g(x), que é r, e menor que m, que e o grau em y de y^m - f(x), devemos ter f(x)^q . y^r - g(x) identicamente nulo, ou seja, r = 0 e g(x) = f(x)^q = f(x)^n/m
y^n - g(x) = y^r(y^qm - f(x)^q) + f(x)^q . y^r - g(x);
usando o fato de que y^qm - f(x)^q e divisível por y^m - f(x), concluímos que,
se y^n - g(x) e divisível por y^m - f(x), f(x)^q . y^r - g(x) também é
Como o grau em y de f(x)^q . y^r - g(x), que é r, e menor que m, que e o grau em y de y^m - f(x), devemos ter f(x)^q . y^r - g(x) identicamente nulo, ou seja, r = 0 e g(x) = f(x)^q = f(x)^n/m
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