Question

Sejam f(x) e g(x) ∈ ℝ não constantes e n e m inteiros positivos. Mostre que y^m − f(x) divide y^n − g(x) em ℝ[x, y] se, e somente se, m divide n e g(x) = f(x)^n /m.

Answer 1

RESOLUÇÃO:

n = m + R onde 0 menor ou igual a R e R menor do que m.

y^n - g(x) é divisível pelo y^m - f(x), e y^n - g(x) = y^R(y^m - f(x)^k) + f(x)^k.y^R - g(x) como o grau em y de f(x)^k . y^R - g(x), que é o próprio R, sendo menor que m, o grau de y de y^m - f(x). Podemos obter a f(x)^k . y^R - g(x) é identificado nulo, ou seja, R = 0 e g(x) = f(x)^k que é igual a f(x)^m/n.

isso aí. pra quem estiver precisando da resposta.