Question

Sejam f(x) e g(x) ∈ ℝ não constantes e n e m inteiros positivos. Mostre que y^m-f(x) divide − () em ℝ[, ] se, e somente se, m divide n e () = () /.

Answer 1

Boa noite!

Queremos provar que a seguinte divisão

$\frac{y^n-g(x)}{y^m-f(x)}$

está definida para todo (x,y) se, e somente se, m divide n e

$g(x)=f(x)^{n/m}$.

Bom, para resolver esse problema, vamos olhar mais uma vez para nossa expressão inicial:

$\frac{y^n-g(x)}{y^m-f(x)}$

Essa expressão está definida em todos os pontos (x,y) exceto naqueles onde o denominador se anula. Queremos que essa expressão seja válida também quando o denominador se anula. A única forma de fazermos com que isso aconteça, é fazendo com que o numerador também se anule quando o denominador se anula.

Bom, vamos supor que existe um $x_m$ para o qual o numerador se anula. Podemos escrever, para esse valor de x,

$y^m-f(x_m)=0$
$f(x_m)=y^m$  **** Vou voltar aqui ****

Agora, no numerador, como queremos que ele também se anule nesses pontos, temos:

$y^n-g(x_m)=0$
$g(x_m)=y^n$

Vamos elevar os dois lados da expressão acima na potência m/n:

$g(x_m)^{m/n}=(y^n)^{m/n}$
$g(x_m)^{m/n}=y^m$

Mas, de acordo com a expressão marcada com asteriscos, temos, para x = xm,

$f(x_m)=y^m$ ,

de modo que da expressão anterior depreendemos que 

$g(x_m)^{m/n}=f(x_m)$

Agora, elevamos a expressão acima à potência n/m para obter:

$g(x_m)=f(x_m)^{n/m}$

Vamos interpretar esse resultado. Nós supomos que existe uma série valores de x para os quais o denominador da divisão proposta se anula. Para esses valores de x, impusemos que o numerador também deve se anular. O que encontramos foi que o numerador somente se anula nesses casos se, e somente se, 

$g(x)=f(x)^{n/m}$ ,

garantindo a validez da divisão proposta desde que m divida n!