Question

Sejam f(x) = 2x − 1 e g(x) = 4x 2 + 3x. Determine f ◦ g e g ◦ f.

Answer 1

Olá!

A composição de funções (símbolo "◦") é a forma que podemos reduzir o número de funções necessárias para chegar a um certo contradomínio, sem ter que passar por funções iterativas.

Fazemos isso definindo a saída de uma função como a entrada de outra, sucessivamente.

Note que a composição de função não é comutativa na maioria dos casos, ou seja, $f \ ◦ \ g \neq g \ ◦ \ f$.

Assim, vamos calcular ambas as composições:

$f \ ◦ \ g$

Basicamente, substituímos onde temos "x" pela função g, na função f:

$f(\color{Red}x \color{Black}) = 2 \color{Red} x \color{Black} - 1 \\ \color{Red} x \color{Black} = g(x) = 4x^2 + 3x$

Portanto, temos:

$f(\color{Red}g(x) \color{Black}) = 2(\color{Red}g(x) \color{Black}) - 1 \\ f(\color{Red}g(x) \color{Black}) = 2(\color{Red} 4x^2 + 3x \color{Black}) - 1$

Simplificando a equação:

$f(g(x)) = 8x^2 + 6x - 1$

Caso não reconheça, $f(g(x)) = f \ ◦ \ g$, logo:

$\fbox{\fbox{ f \ ◦ \ g = 8x^2 + 6x - 1 }}$

$g \ ◦ \ f$

Agora, temos que substituir x pela função f, na função g:

$g(\color{Red}x \color{Black}) = 4 \color{Red} x^{\color{Black} 2} \color{Black} + 3 \color{Red} x \color{Black} \\ \color{Red} x \color{Black} = f(x) = 2x - 1$

Portanto, temos:

$g(\color{Red}f(x) \color{Black}) = 4 (\color{Red}f(x) \color{Black})^{\color{Black} 2} + 3 ( \color{Red} f(x) \color{Black} ) \\ g(\color{Red}f(x) \color{Black}) = 4(\color{Red} 2x - 1 \color{Black})^{\color{Black} 2} + 3 (\color{Red} 2x - 1 \color{Black})$

Simplificando a equação:

$g(f(x)) = 4(4x^2 - 4x + 1) + 6x - 3 = \\ 16x^2 - 16x + 4 + 6x - 3 = \\ 16x^2 - 10x + 1$

Então:

$\fbox{\fbox{ g \ ◦ \ f = 16x^2 - 10x + 1 }}$

Espero ter ajudado.

Abraços e bons estudos ;-)