Question

Sejam f uma função real monótona e a um ponto de acumulação a direita para X. Se existir uma sequencia xn em X, com xn > a, lim xn = a e lim f(xn) = L, então lim f(x) quando x tende à a pela direita é L.

Answer 1

Seja f uma função contínua em a e xₙ uma sequência cujo limite é a.

Se fé contínua, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que

$|x_n-a| < \delta \implies |f(x_n)-L| < \epsilon$

Como  xₙ tende à a pela direita, existe $n_{\epsilon}$ tal que

$|x_n-a|<\overline{\epsilon} \hspace{0.5cm} \forall n\geq n_{\epsilon}$

Queremos provar que

$|x-a|<\hat{\delta} \implies |f(x)-L| < \hat{\epsilon}$

$|x-a+x_n-x_n| = |x-x_n-(a-x_n)|<\hat{\delta}$

Pela desigualdade triangular $|x-y| \geq |x|-|y|$,

$|x-x_n|-|a-x_n|\leq |x-x_n|-(a-x_n)|< \hat{\delta}$

Sabemos que $|a-x_n| < \overline{\epsilon}$, portanto,

$|x-x_n| - \overline{\epsilon} < \hat{\delta} \implies |x-x_n| <\overline{\delta}$

Onde $\overline{\delta} =\hat{\delta}+\overline{\epsilon} > 0$,

Como f é contínua em xₙ,

$|x-x_n|<\overline{\delta} \implies |f(x) - f(x_n)| < \epsilon_1$

$|f(x)-f(x_n)+L-L| < \epsilon_1$

Usando novamente a desigualdade,

$|f(x)-L|-|L-f(x_n)| = |f(x)-L-(L-f(x_n))| < \epsilon_1$

Como |f(xₙ) - L| < ε,

$|f(x)-L| < \hat{\epsilon} = \epsilon + \epsilon_1$

Assim,

$|x-a|<\hat{\delta} \implies |f(x)-L| < \hat{\epsilon}$