Question

Sejam f,g : X -> R, a £ X' e M > 0 tais que Lim Xx->a g(x) =0 e |f(x) <_ M . Prove que Lim x-> a (f(x).g(x))=0.

Answer 1

Temos as funções ƒ, g: X → ℝ e os números reais a ∈ X’ e M > 0 tais que:
lim g(x) = 0
x → a
|ƒ(x)| ≤ M.

Então, pretendemos provar que:
∀ε>0 ∃δ>0: |x – a| < δ ⇒ |ƒ(x)g(x)| < ε

Tem-se:
|ƒ(x)g(x)| = |ƒ(x)||g(x)| ≤ M|g(x)|

Como sabemos que g(x) → 0 quando x → a, sabemos que para qualquer número ξ > 0, existe um número σ > 0 tal que |x – a| < σ ⇒ |g(x)| < ξ.

Tomando ε = Mξ e δ = σ, vem:
∀ξ>0 ∃σ>0: |x – a| < σ ⇒ |ƒ(x)g(x)| < Mξ

Como ξ é arbitrário e M < ∞, segue-se que:
lim [ƒ(x)g(x)] = 0
x → a