Sejam f e g funções reais tais que f(x - 1) = 2x + 3 e g(x + 2) = 4x - 7. Analise cada uma das seguintes proposições.
I. Temos que f(3) é um número primo.
II. A solução da equação f(x) = 6 é um número negativo.
III. A função g é injetora.
IV. A composta f(g(x)) = 8x + 1 para todo x real.
Coloque verdade ou falso
Soluções para a tarefa
Analisando cada uma das proposições, obtemos a sequência V - F - V - F.
Vamos definir as funções f e g.
Em f(x - 1) = 2x + 3, considere que h(x) = x - 1.
Sendo assim, temos que f(h(x)) = 2x + 3.
É possível afirmar que a função f é uma função do primeiro grau. Logo, f será da forma f(x) = ax + b.
Então:
f(h(x)) = a(x - 1) + b
f(h(x)) = ax - a + b.
Com isso, obtemos o sistema:
ax - a + b = 2x + 3
{a = 2
{-a + b = 3.
O valor de b é 5 e a função f é f(x) = 2x + 5.
Faremos o mesmo com g(x + 2) = 4x - 7:
g(h(x)) = a(x + 2) + b
g(h(x)) = ax + 2a + b.
Igualando:
ax + 2a + b = 4x - 7
{a = 4
{2a + b = -7.
O valor de b é -15 e a função g é g(x) = 4x - 15.
Agora, vamos analisar as afirmativas.
I. Se x = 3, então:
f(3) = 2.3 + 5
f(3) = 6 + 5
f(3) = 11.
11 é um número primo e a afirmativa está correta.
II. Se f(x) = 6, então:
2x + 5 = 6
2x = 1
x = 1/2.
A solução é positiva e a afirmativa está errada.
III. A função g é do primeiro grau. Logo, é injetora e a afirmativa está correta.
IV. Sendo f(x) = 2x + 5 e g(x) = 4x - 15, a função composta f(g(x)) é:
f(g(x)) = 2(4x - 15) + 5
f(g(x)) = 8x - 30 + 5
f(g(x)) = 8x - 25.
A afirmativa está errada.