Question

Sejam f e g duas funções deriváveis:
f(0)= f'(0)=2
g(x)=(e^(4x) + 5):f(x)

Qual é a equação da reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 0?

Answer 1

Para encontrar a equação da reta tangente, devemos primeiro encontrar a inclinação desta. A inclinação nos é dada pela derivada da função no ponto desejado, ou seja, g'(0). Fazendo passo a passo, vamos encontrar essa função e, a partir dela, a inclinação:

$g(x)= \frac{e^{4x}+5}{f(x)}$

Pela regra do cociente, encontraremos a função g'(x):

$g'(x) = \frac{f(x)*4e^{5x}-(e^{4x}+5)*f'(x)}{[f(x)]^2}$

Agora é só encontrar g'(0) fazendo x=0 em g(x):

$g'(0)= \frac{f(0)*4e^{5(0)}-(e^{4(0)}+5)*f'(0)}{[f(0)]^2}$

Substituindo os valores conhecidos para f(0) e f'(0), temos:

$g'(0)= \frac{8-6*2}{4} = \frac{8-12}{4} = \frac{-4}{4} =-1$

-1 é a inclinação da reta neste ponto. Agora, devemos encontrar o ponto em que a abcissa é zero. É só fazer g(0)

$g(0)= \frac{e^{4(0)}+5}{f(0)} = \frac{6}{2} =3$

O ponto é (0,3)

Substituindo na equação geral da reta, temos:

$(y-y_o)=g'(0)*(x-x_o)$

$(y-3)=(-1)*(x-0)$

$y-3=-x$

$y=-x+3$

Está é a reta tangente (Ufa!).