Question

Sejam f: A --> B e os subconjuntos X, Y de A.
Mostre que se f for injetiva então f(X ∩ Y) = f(X) ∩ f(Y).
Poderia dar exemplo com conjuntos numéricos?

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

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.  Usando conjuntos numéricos:

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.  Seja:  f uma função de A em B,   sendo:

.             f(x)  =  2x + 1,      A = {0,  1,  2 , 3,  4}

.                                          B  =  { 1,  3,  5,  7,  9,  11 }

.  Os conjuntos: X = { 0, 1,  2,  3)  e  Y = { 1,  2,  3,  4 } são subconjun-

.  tos de A.

.

.  Temos f injetiva, pois:  f(0)  =  2 . 0 + 1  =  0  +  1  =  1       (0, 1)

.                                         f(1)   =  2 . 1  + 1  =  2  + 1   =  3      (1, 3)

.                                         f(2)  =  2 . 2 + 1  =  4  + 1   =  5      (2, 5)

.                                         f(3)   =  2 . 3 + 1  =  6 + 1    = 7       (3, 7)

.                                         f(4)   =  2 . 4 + 1  =  8 + 1   =  9       (4, 9)

.Veja que cada elemento distinto de A tem um correspondente dis-

. tinto em B, ou seja, os pares ordenados são todos formados por

.elementos distintos. Então,  f É INJETIVA.

.

f(X  ∩ Y)  =   f{ 1,  2,  3 }   =  { 3,  5,  7 }

f(X)  ∩  f(Y)  =  { 1, 3, 5, 7 }    ∩    { 3, 5, 7, 9 }  =  { 3,  5,  7 }

...=>  f(X ∩  Y)  =  f(X)  ∩  f(Y)

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(Espero ter colaborado)

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