Question

Sejam Ρ, Α e Β pontos do espaço. Seja C o ponto no segmento $AB$ tal que $\frac{AC}{CB} = \frac{m}{n}$. Escreva o vetor $PC$ como combinação linear dos vetores $PA$ e $PB$.

Resposta: $PC = (1 - \frac{m}{m + n}) PA + \frac{m}{m + n}PB$

Se possível uma resolução detalhada, pois não conseguir compreender como se chega a essa resposta.

Answer 1

Vamos lá:

Temos, do enunciado, que o ponto C está entre A e B, logo, esses três são colineares. Suponhamos P como um ponto qualquer no espaço. Veja a imagem anexada.

Podemos dizer, sem perda de generalizações, que:

$\dfrac{\overline{AC}}{\overline{CB}}=\dfrac{m}{n}\longrightarrow \overline{AC}=\dfrac{m}{n}~\overline{CB}$

Como estes segmentos são representantes de vetores, podemos, também, dizer que:

$\vec{AC}=\dfrac{m}{n}~\vec{CB}$

Agora, veja, na imagem, que:

$\vec{PC} = \vec{PA}+\vec{AC}$

E vamos substituir o vetor AC nessa expressão pelo que calculamos anteriormente.

$\vec{PC} = \vec{PA}+\dfrac{m}{n}~\vec{CB}$

Note, também, que $\vec{CB}=\vec{CP}+\vec{PB}$ , logo,

$\vec{PC}=\vec{PA}+\dfrac{m}{n}~(\vec{CP}+\vec{PB})\\ \\ \vec{PC}=\vec{PA}-\frac{m}{n}\vec{PC}+\frac{m}{n}\vec{PB}\\ \\ \vec{PC}+\frac{m}{n}\vec{PC}=\vec{PA}+\frac{m}{n}\vec{PB}\\ \\ \left(1+\dfrac{m}{n}\right)\vec{PC}=\vec{PA}+\frac{m}{n}\vec{PB}$

Vamos isolar o vetor PC:

$\left(1+\dfrac{m}{n}\right)\vec{PC}=\vec{PA}+\frac{m}{n}\vec{PB}\\ \\ \vec{PC}=\left(\dfrac{1}{\dfrac{n+m}{n}}\right)\vec{PA}+\left(\dfrac{\dfrac{m}{n}}{\dfrac{n+m}{n}}\right)\vec{PB}\\ \\ \\ \vec{PC}=\dfrac{n}{m+n}~\vec{PA}~+~\dfrac{m}{m+n}\vec{PB}$

Porém, ainda podemos notar que:

$\dfrac{n}{m+n}=\dfrac{n+m-m}{m+n}=\dfrac{m+n}{m+n}-\dfrac{m}{m+n}=1-\dfrac{m}{m+n}$

Ou seja, chegamos na resposta que:

$\vec{PC}=\left(1-\dfrac{m}{m+n}\right)~\vec{PA}~+~\left(\dfrac{m}{m+n}\right)\vec{PB}$