Question

Sejam E: Lançamento de dois dados e X: Soma das faces dos
dados. Encontre a Função de Densidade de Probabilidade e a Função de
Distribuição de Probabilidade Acumulada para cada valor assumido pela v.a.d.
Calcule a E(x) e V(x).

Answer 1

Olá, Danilo.

Os eventos possíveis no lançamento de dois dados são:
$\begin{cases}Soma=2: (1,1)\\Soma=3: (1,2),(2,1)\\Soma=4: (1,3),(2,2),(3,1)\\Soma=5: (1,4),(2,3),(3,2),(4,1)\\Soma=6: (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\\Soma=7: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\\Soma=8: (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)\\Soma=9: (3,6),(4,5),(5,4),(6,1)\\Soma=10: (4,6),(5,5),(6,4)\\Soma=11: (5,6),(6,5)\\Soma=12: (6,6)\end{cases}$

Combinações possíveis:  $6 \times 6 = 36$

Seja X uma variável aleatória tal que seus valores sejam as somas dos dados.
Assim:

$\begin{cases}P(X=2)=P(X=12)=1/36\\P(X=3)=P(X=11)=2/36\\P(X=4)=P(X=10)=3/36\\P(X=5)=P(X=9)=4/36\\P(X=6)=P(X=8)=5/36\\P(X=7)=6/36\end{cases}$

Função de Densidade de Probabilidade:

$F(x)=\begin{cases}1/36,\text{se }x=2\text{ ou }x=12\\2/36,\text{se }x=3\text{ ou }x=11\\3/36,\text{se }x=4\text{ ou }x=10\\4/36,\text{se }x=5\text{ ou }x=9\\5/36,\text{se }x=6\text{ ou }x=8\\6/36,\text{se }x=7\end{cases}$

Função de Distribuição de Probabilidade Acumulada:

$\begin{cases}F(2)=P(X\leq2)=P(X=2)=1/36\\F(3)=P(X\leq3)=P(X=2)+P(X=3)=3/36\\F(4)=P(X\leq4)=P(X=2)+..+P(X=4)=6/36\\F(5)=P(X\leq5)=P(X=2)+..+P(X=5)=10/36\\F(6)=P(X\leq6)=P(X=2)+..+P(X=6)=15/36\\F(7)=P(X\leq7)=P(X=2)+..+P(X=7)=21/36\\F(8)=P(X\leq8)=P(X=2)+..+P(X=8)=26/36\\F(9)=P(X\leq9)=P(X=2)+..+P(X=9)=30/36\\F(10)=P(X\leq10)=P(X=2)+..+P(X=10)=33/36\\F(11)=P(X\leq11)=P(X=2)+..+P(X=11)=35/36\\F(12)=P(X\leq12)=P(X=2)+..+P(X=12)=36/36=1\end{cases}$

Esperança:

$E(X)=\sum\limits_{x=1}^{12} x\cdot P(X=x)=\\\\=2\cdot\frac1{36}+3\cdot\frac2{36}+4\cdot\frac3{36}+5\cdot\frac4{36}+6\cdot\frac5{36}+7\cdot\frac6{36}+\\+8\cdot\frac5{36}+9\cdot\frac4{36}+10\cdot\frac3{36}+11\cdot\frac2{36}+12\cdot\frac1{36}=\\\\=2/36+6/36+12/36+20/36+30/36+42/36+40/36+36/36+\\+30/36+22/36+12/36=\\\\=252/36\Rightarrow \boxed{E(X)=7}$

Variância:

$E(X^2)=\sum\limits_{x=1}^{12} x^2\cdot P(X=x)=\\\\=4\cdot\frac1{36}+9\cdot\frac2{36}+16\cdot\frac3{36}+25\cdot\frac4{36}+36\cdot\frac5{36}+49\cdot\frac6{36}+\\+64\cdot\frac5{36}+81\cdot\frac4{36}+100\cdot\frac3{36}+121\cdot\frac2{36}+144\cdot\frac1{36}=\\=4/36+18/36+48/36+100/36+180/36+294/36+320/36+\\+324/36+300/36+242/36+144/36=\\=1974/36=\\=329/6$

$Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=\frac{329}6-49=\frac{329-294}6\Rightarrow\\\\\boxed{Var(X)=\frac{35}6=5,833...}$