Question

Sejam α e β as raízes da equação x² + px + 1 = 0, e sejam γ e δ as raízes da equação x² + qx + 1 = 0, então o valor da expressão (α-γ)(β -γ)(α+δ)(β +δ) é:



GABARITO:q² - p²

Answer 1

Vamos fazer por relações de Gerrard

Pela equação x² + px + 1 = 0, temos:

α + β = -p

α.β = 1

Pela equação x² + qx + 1 = 0, temos

γ + δ = - q

γ.δ = 1

Vamos fazer aparecer essas relações. Multiplicando o primeiro com último e o segundo com o terceiro

(α-γ)(β -γ)(α+δ)(β +δ)

(α.β + α.δ - γ.β - γ.δ).(α.β + β.δ - γ.α - γ.δ)

(1 + α.δ - γ.β - 1).(1 + β.δ - γ.α - 1)

(α.δ - γ.β).(β.δ - γ.α)

α.β.δ^2 - γ.δ.α^2 - γ.δ.β^2 + α.β.γ^2

α.β(δ^2 + γ^2) - γ.δ(α^2 + β^2)

* Vamos fazer essa parte separada

α + β = -p (elevando ao quadrado)

α^2 + β^2 + 2α.β = p^2

α^2 + β^2 = p^2 - 2α.β

α^2 + β^2 = p^2 - 2

γ + δ = - q (elevando ao quadrado)

γ^2 + δ^2 + 2γ.δ = q^2

γ^2 + δ^2 = q^2 - 2γ.δ

γ^2 + δ^2 = q^2 - 2

Voltando a resolução, vamos substituir os valores

1(q^2 - 2) - 1(p^2 - 2)

q^2 -2 - p^2 + 2

q^2 - p^2