Question

Sejam dois polígonos convexos. Um tem a mais que o outro 4 lados e 38 diagonais. Determine a soma total do número de lados e de diagonais dos dois polígonos.

Answer 1

Resposta:

Número de lados: 22.

Número de diagonais: 92.

Explicação passo-a-passo:

Essa questão está relacionada com polígonos convexos. Nesse assunto, podemos determinar o número de diagonais de um polígono através da seguinte equação:

$d=\frac{n(n-3)}{2}\\ \\ d=\frac{n^2-3n}{2}$

Onde d é o número de diagonais e n é o número de lados.

No primeiro polígono, vamos considerar um número de diagonais d e um número de lados n. Assim, no segundo polígono, temos d+38 e n+4. Substituindo na equação, obtemos:

$d+38=\frac{(n+4)(n+4-3)}{2}\\ \\ d=\frac{n^2+5n+4}{2} -38$

Agora, vamos igualar as duas equações, formando uma expressão com apenas uma incógnita (número de lados).

$\frac{n^2-3n}{2} =\frac{n^2+5n+4}{2} -38\\ \\ n^2-3n=n^2+5n+4-76\\ \\ 8n=72\\ \\ n=9$

Logo, podemos concluir que o número de lados do menor polígono é 9. Por consequência, o outro polígono possui 13 lados. O número de diagonais de cada um será:

$d=\frac{9(9-3)}{2} =27\\ \\ d=\frac{13(13-3)}{2} =65$

Portanto, a soma do número de lados e diagonais são, respectivamente, 22 e 92.