Question

Sejam dados os pontos A=(1,-1,1), B=(2,1,0) e C=(x⁢,2,1). Determine x tal que A⁢B⁢C forme um triângulo retângulo com hipotenusa B⁢C

Answer 1

Podemos fazer de duas formas.

1ª forma : Produto escalar.

Se o triângulo é retângulo então o vetor AB é ortogonal ao vetor AC, isso implica que o produto escalar entre eles é 0. Ou seja :

$\displaystyle \sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot \overrightarrow{\sf AC}= |AB|\cdot|AC|\cdot cos(\theta) \\\\ \overrightarrow{\sf AB}\cdot \overrightarrow{\sf AC}= 0$

vetores :

$\sf \overrightarrow{\sf AB}=B-A = (2-1,\ 1-(-1), \ 0-1) \\\\ \overrightarrow{\sf AB} = (1,2,-1) \\\\\\ \overrightarrow{\sf AC} = C-A = (x-1,\ 2-(-1),\ 1-1 ) \\\\ \overrightarrow{\sf AC}=(x-1,\ 3,\ 0 )$

Daí :

$\displaystyle \sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot \overrightarrow{\sf AC}= 0\\\\ (1,\ 2,\ -1)\cdot(x-1,\ 3,\ 0) = 0 \\\\ 1\cdot (x-1) + 2\cdot 3 +(-1)\cdot 0 = 0 \\\\ x-1 +6=0 \\\\ \huge\boxed{\sf x = -5}\checkmark$

2ª forma : Teorema e pitágoras.

Se o triângulo é retângulo de hipotenusa BC, então :

$\sf BC^2=AC^2+AB^2\\\\\\ BC^2= \left(\sqrt{(x-2)^2+(2-1)^2+(1-0)^2}\right)^2 \\\\ BC^2 = (x-2)^2+2 \\\\\\ AC^2 = \left(\sqrt{(x-1)^2+(2-(-1))^2+(1-1)^2}\right)^2 \\\\ AC^2 = (x-1)^2+9 \\\\\\ AB^2 =\left(\sqrt{(2-1)^2+(1-(-1))^2+(0-1)^2}\right)^2 \\\\ AB^2= 6$

Daí :

$\sf BC^2=AC^2+AB^2\\\\ (x-2)^2+2=(x-1)^2+9+6 \\\\ (x-2)^2-(x-1)^2=13 \\\\\\ (x-2-x+1)\cdot (x-2+x-1) = 13 \\\\ -1\cdot (2x-3) = 13 \\\\ 2x = -13+3 \\\\ \huge\boxed{\sf x = -5} \checkmark$