Question

Sejam dadas as funções
m={(3, 5), (3/4, 0), (2, 1/9), (12, 5), (0, 0)}
n={(5, 2), (0, 0), (6, 1/4), (1/9, 0)}
Considere as afirmações:
1) não existe função nom.
2) não existe função mon.
3) m é um função bijetora de R em R.
4) a função monom não existe.
5) todas as afirmativas anteriores são falsas.
Então:
a) todas são corretas
b) somente duas são corretas
c) somente uma é correta
d) todas são falsas
e) somente três são falsas

Answer 1

Lembramos que uma função $\mathsf{f: A \to B}$ é um subconjunto do produto cartesiano AxB que satisfaz a seguinte propriedade:

( I ) Para todo a ∈ A existe um único b ∈ B tal que (a,b) ∈ f.

O conjunto A é o domínio da função (denotado por Dom(f) ) e B seu contradomínio. A imagem Im(f) de f é o conjunto de todos b ∈ B tais que existe a ∈ A de forma que (A,B) ∈ f.

Lembramos também que se $\mathsf{g: C \to D}$ é uma outra função estará definida a composta $\mathsf{ f \circ g: C \to B}$ desde que Im(g) ⊂ Dom(f).

Assim, digamos que m é uma função de X em Y:

m={(3, 5), (3/4, 0), (2, 1/9), (12, 5), (0, 0)}

Pela propriedade ( I ) sabemos que o domínio X de m deve ser:

X = {3, 3/4, 2, 12, 0}

Pois cada elemento do domínio deve aparecer exatamente em um par ordenado. Não podemos encontrar o contradomínio mas temos a imagem de m:

Im(m) = {5, 0, 1/9}

De maneira similar se n é uma função de Z em W temos:

Z = {5, 0, 6, 1/9}

Im(n) = {2, 0, 1/4}

1) Falso. Existe nom pois a imagem de m está contida no domínio de n.

2) Verdadeiro pois a imagem de n não está contida no domínio de m.

3) Falso. O domínio de m não é R.

4) Falso. Essa é ambígua. Existe mo(nom):

nom = {(3, 2), (3/4, 0), (2, 0), (12, 2), (0, 0)} → Im(nom) = {2,0} ⊂ Dom(m)

mo(nom) = {(3, 1/9), (3/4, 0), (2, 0), (12, 1/9), (0, 0)}

Mas não existe (mon)on pois não existe mon. Como não há parenteses na expressão monom se considerarmos como mo(nom) a afirmação é falsa.

5) Falsa

Portanto há apenas uma correta.

Resposta:

c) somente uma é correta.