Question

Sejam B={(1,0),(0,1)} e F={(1,0),(1,−1)} bases de R². Determine as matrizes dos operadores identidade em relação às bases B e F e em relação as bases F e B. Se u=(4,1)↓B determine suas coordenadas na base F.

Answer 1

Para realizar a mudança de base de B para F, devemos escrever a base de B como combinação linear à base F:

$[(1, 0)]_F = a(1, 0) + b(1, -1) = (a + b, -b) \\ \left \{ {{a+b=1} \atop {-b=0}} \right. \rightarrow{a=1} \\ [(0, 1)]_F = c(1, 0) + d(1, -1) = (c+d, -d) \\ \left \{ {{c+d=0} \atop {-d=1}} \right. \rightarrow{c=1}$

A matriz mudança de base de B para F é dada por:
$[M]^{B}_{F}= \left[\begin{array}{ccc}a&c\\b&d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&1\\0&-1\end{array}\right]$

E fazemos da mesma maneira para descobrir a matriz de mudança de base de F para B e agora devemos escrever a base de F como combinação linear à base B:

$[(1, 0)]_B = a(1, 0) + b(0, 1) = (a, b) \\ \left \{ {{a=1} \atop {b=0}} \right. \\ [(1, -1)]_B = c(1,0) + d(0,1) = (c, d) \\ \left \{ {{c=1} \atop {d=-1}} \right. \\ [M]^{F}_{B} = \left[\begin{array}{ccc}1&1\\0&-1\end{array}\right]$

Para calcular as coordenadas de $u = (4,1)_B$ na base F, fazemos:

$[u]_{F}=[M]^{B}_{F}.[u]_{B} \\ [u]_{F} = \left[\begin{array}{ccc}1&1\\0&-1\end{array}\right] . \left[\begin{array}{ccc}4\\1\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc}5\\-1\end{array}\right]$