Question

Sejam as retas r, s:3x−y+1=0 e t:2x+3y−9=0, sendo r a reta que passa pelo ponto P(1,4) e é perpendicular à reta s e I o ponto de intersecção da reta t com o eixo das ordenadas. Analise as PROPOSIÇÕES abaixo e assinale somente a(s) VERDADEIRA(S): Escolha uma ou mais: a) A distância do ponto I até a reta r é 310−−√5 u.c. b) A distância do ponto I até a reta r é 410−−√5 u.c. c) A distância do ponto I até a reta r é 210−−√5 u.c. d) A equação geral da reta r é 3x+y−7=0. e) As coordenadas do ponto I são (92,0). f) A equação geral da reta r é x+3y−13=0. g) As coordenadas do ponto I são (0,3).

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas em geometria analítica.

Sejam as retas $r$, $s:3x-y+1=0$ e $t:2x+3y-9=0$. Sabemos que a reta $r\perp s$ e passa pelo ponto $(1,~4)$.

Sabemos que dada uma reta de coeficiente angular $m_1$, para que outra reta seja perpendicular a ela, seu coeficiente deve ser $m_2=-\dfrac{1}{m_1}$.

Logo, devemos encontrar a equação reduzida da reta $s$, isolando $y$:

$s: y=3x+1$

Então, lembrando da equação do feixe de retas $y-y_0=m\cdot(x-x_0)$, temos que

$m_s=3$

Para que a reta $r$ seja perpendicular a $s$, como dito anteriormente, seu coeficiente será $m_r=-\dfrac{1}{3}$.

Então, sabendo que o coeficiente pode ser calculado pela fórmula $m=\dfrac{y-y_0}{x-x_0}$, substituímos as coordenadas do ponto $P$ para encontrarmos a equação da reta $r$:

$-\dfrac{1}{3}=\dfrac{y-4}{x-1}$

Multiplicando cruzado, temos

$1-x=3y-12$

Passando os termos da esquerda para a direita para encontrarmos a equação geral da reta:

$x+3y-13=0$

Esta é a equação da reta $r$.

O ponto $I$ é o ponto de intersecção da reta $t$ com o eixo das ordenadas. Dessa forma, substituímos $x=0$ na equação da reta

$2\cdot0+3y-9=0$

Multiplique os valores

$3y-9=0$

Some 9 em ambos os lados da equação

$3y=9$

Divida ambos os lados da equação por 3

$y=3$

As coordenadas do ponto $I$ são $(0,~3)$.

Por fim, para encontrarmos a distância do ponto $I$ à reta $r$, utilizamos a fórmula de distância do ponto à reta.

Dada uma equação geral $ax+by+c=0$, a distância de um ponto $(x_0,~y_0)$ à reta é dada por: $d=\dfrac{|a\cdot x_0+b\cdot y_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Neste caso, substituindo as coordenadas do ponto $I$ e os coeficientes da reta $r$, temos:

$d=\dfrac{|1\cdot0+3\cdot 3-13|}{\sqrt{1^2+3^2}}$

Calcule as potências e multiplique os valores

$d=\dfrac{|9-13|}{\sqrt{1+9}}$

Some os valores

$d=\dfrac{|-4|}{\sqrt{10}}$

O módulo de um número negativo é igual ao valor absoluto deste número, logo

$d=\dfrac{4}{\sqrt{10}}$

Racionalizamos o denominador multiplicando a fração por $\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$.

$d=\dfrac{4}{\sqrt{10}}\cdot \dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}\\\\\\ d=\dfrac{4\sqrt{10}}{10}$

Simplifique a fração

$d=\dfrac{2\sqrt{10}}{5}$.

Então, analisando as afirmativas, vemos que as corretas são apenas as letras f e g.

Observe em anexo: As retas $r$, $s$ e $t$, as coordenadas do ponto $I$ e a distância entre o ponto