Question

Sejam as retas r e s, determinar, para o valor de m, o ponto de interseção de r e s.

Obs. Está em anexo a figura do enunciado e as retas.

Answer 1

Olá

$r: \left\{\begin{array}{lll}x~=2+3t~\\y~=4+5t~\\z~=~mt\end{array}\right ~~~ ~~~~~~ ~t ~\in R \\ \\ \\ s: \left\{\begin{array}{lll}x~=\lambda~\\y~=2\lambda +1~\\z~=~ \frac{\lambda}{2} - \frac{3}{2} \end{array}\right ~~ ~~~~~~~ \lambda~\in~R$

Para que as retas tenham intersecção, elas devem ser coplanares.
Se as retas forem coplanares, o determinante da matriz tem de ser 0.

A matriz tem que ser composta pelos dois vetores diretores dados, e um terceiro vetor criado a partir dos dois pontos das retas.

Temos que

 $\vec{r}=(3,5,m) \\ \\ \vec{s}=(1,2, \frac{1}{2} ) \\ \\ \text{criando o terceiro vetor} \\ \\ Pr=(2,4,0) \\ Ps=(0,1, -\frac{3}{2} ) \\ \\ \vec{w}=Ps-Pr=(0,1, -\frac{3}{2} )-(2,4,0) \\ \vec{w}=(-2,-3,- \frac{3}{2} )$

A matriz ficará

$\left[\begin{array}{ccc}3&5&m \\ \\-2&-3&- \frac{3}{2} \\ \\1&2& \frac{1}{2} \end{array}\right]$

Resolvendo a matriz e igualando a 0, vc irá encontrar m=2

Então para que r e s sejam concorrentes, m tem que ser igual a 2.



B)

Agora que já temos o valor do m, é só fazer a intersecção entre retas normalmente.

$\text{igualando a coordenada do X} \\ \\ \lambda~=~2+3t \\ \\ \text{Agora basta substituir em qualquer coordenada} \\ \\ \text{substituindo no Y} \\ \\ 2\lambda +1=4+5t \\ \\ 2(2+3t)+1=4+5t \\ \\ 4+6t+1=4+5t \\ \\ 6t-5t=4-4-1 \\ \\\boxed{t=-1} \\ \\ \text{Agora e so substituir nas parametricas}$

$r: \left\{\begin{array}{lll}x~=2+3t~\\y~=4+5t~\\z~=~2t\end{array}\right ~~~ ~~~~~~ ~ \\ \\ \\ \text{substituindo t=-1}\\\\ r: \left\{\begin{array}{lll}x~=2+3(-1)~~~~~~~\longrightarrow~~~~x=-1\\y~=4+5(-1)~~~~~~~\longrightarrow~~~~y=-1\\z~=~2(-1)~~~~~~~~~~~\longrightarrow~~~~z=-2\end{array}\right ~~~ ~~~~~~ ~ \\ \\ \\ \boxed{\boxed{I=(-1,-1,-2)}}$