Question

Sejam as matrizes (na imagem), onde x e y são números reais e M é a matriz inversa dee A. Então o produto de yx é:

a)3/2
b)2/3
c)1/2
d)3/4
e)1/4

Answer 1

Pensei em duas formas de resolver esse problema, uma envolve menos contas e a outra envolve o cálculo da inversa de A

Primeira forma:

Sabemos que $\det\,M=\det\,A^{-1}=\dfrac{1}{\det\,A}$

Calculando o determinante de A e o determinante de M:

$\det\,A=(1\cdot6)-(2\cdot2)=6-4=2\\\\\det\,M=(x\cdot y)-(-1)\cdot(-1)=xy-1=yx-1$

Como $M=A^{-1}$, então $\det\,M=\dfrac{1}{\det\,A}$:

$\det\,M=\dfrac{1}{\det\,A}\\\\\\yx-1=\dfrac{1}{2}\\\\\\yx=\dfrac{1}{2}+1\\\\\\yx=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{2}\\\\\\\boxed{\boxed{yx=\dfrac{3}{2}}}$
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Segunda forma:

Existe uma fórmula que simplifica o cálculo da inversa de uma matriz quadrada de ordem 2:

Seja $X=\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]$ com $\det\,X=ad-bc\neq0$. Então a matriz X é invertível, e sua inversa é dada por

$\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]^{-1}=\dfrac{1}{\det\,X}\left[\begin{array}{cc}d&-b\\-c&a\end{array}\right]$

(troca-se a ordem dos elementos da diagonal principal e troca-se o sinal dos elementos da diagonal secundária para se chegar na matriz da parte direita)
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Temos a matriz $A=\left[\begin{array}{cc}1&2\\2&6\end{array}\right]$. 

Como det A é diferente de zero, sua inversa existe, e é calculada como

$A^{-1}=\dfrac{1}{\det\,A}\left[\begin{array}{cc}6&-2\\-2&1\end{array}\right]=\dfrac{1}{2}}\left[\begin{array}{cc}6&-2\\-2&1\end{array}\right]=}\left[\begin{array}{cc}6/2&-2/2\\-2/2&1/2\end{array}\right]\\\\\\\boxed{\boxed{A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}3&-1\\-1&1/2\end{array}\right]}}$

Como $M=A^{-1}$,

$\left[\begin{array}{cc}3&-1\\-1&1/2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}x&-1\\-1&y\end{array}\right]\,\,\Leftrightarrow\,\,\begin{cases}x=3\\y=1/2\end{cases}$

Então o produto yx vale

$yx=\dfrac{1}{2}\cdot3\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\boxed{\boxed{yx=\dfrac{3}{2}}}$