Question

Sejam as matrizes K3×3 com kij = 6i+2 e T3×3 com tij = 5i+j. Calcule-as. Na sequência, calcule também em:
(a) K + T
(b) K − T
(c) K · T
(d) 3T − 2K
(e) detK
(f) detT
(g) det(K · T)
(h) a soma de todos os termos de K​

Answer 1

⠀⠀De início a questão nos fornece a lei de formação das matrizes K e T, ambas de ordem 3x3 (três linhas e três colunas), que são respectivamente $\small\sf k_{ij}=6i+2$ e $\small\sf t_{ij}=5i+j$.  Primeiramente, sem atribuir valor algum à seus elementos, sabemos que essas matrizes são:

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                         $\sf K=\begin{bmatrix}\sf k_{11}&\sf k_{12}&\sf k_{13}\\\sf k_{21}&\sf k_{22}&\sf k_{23}\\\sf k_{31}&\sf k_{32}&\sf k_{33}\end{bmatrix}~~e~~~T=\begin{bmatrix}\sf t_{11}&\sf t_{12}&\sf t_{13}\\\sf t_{21}&\sf t_{22}&\sf t_{23}\\\sf t_{31}&\sf t_{32}&\sf t_{33}\end{bmatrix}$

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⠀⠀E com base na lei de formação de cada uma podemos dizer que: um elemento da matriz K é obtido calculando-se o sêxtuplo do número que representa a linha (i) que ele se encontra, adicionado à 2 (dois); e um elemento da matriz T é obtido calculando-se o quíntuplo do número que representa a linha que ele se encontra, adicionado ao número que representa a coluna (j) que ele se encontra. Assim,

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• calculando os elementos da matriz K:

$\begin{array}{l}\implies~~~~\sf K=\begin{bmatrix}\sf6(1)+2&\sf6(1)+2&\sf6(1)+2\\\sf6(2)+2&\sf6(2)+2&\sf6(2)+2\\\sf6(3)+2&\sf6(3)+2&\sf6(3)+2\end{bmatrix}\\\\\\\implies~~~~\sf K=\begin{bmatrix}\sf6+2&\sf6+2&\sf6+2\\\sf12+2&\sf12+2&\sf12+2\\\sf18+2&\sf18+2&\sf18+2\end{bmatrix}\\\\\\\implies~~~~\sf K=\begin{bmatrix}\sf8&\sf8&\sf8\\\sf14&\sf14&\sf14\\\sf20&\sf20&\sf20\end{bmatrix}\end{array}$

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• calculando os elementos da matriz T:

$\begin{array}{l}\implies~~~~\sf T=\begin{bmatrix}\sf5(1)+(1)&\sf5(1)+(2)&\sf5(1)+(3)\\\sf5(2)+(1)&\sf5(2)+(2)&\sf5(2)+(3)\\\sf5(3)+(1)&\sf5(3)+(2)&\sf5(3)+(3)\end{bmatrix}\\\\\\\implies~~~~\sf T=\begin{bmatrix}\sf5+1&\sf5+2&\sf5+3\\\sf10+1&\sf10+2&\sf10+3\\\sf15+1&\sf15+2&\sf15+3\end{bmatrix}\\\\\\\implies~~~~\sf T=\begin{bmatrix}\sf6&\sf7&\sf8\\\sf11&\sf12&\sf13\\\sf16&\sf17&\sf18\end{bmatrix}\end{array}$

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⠀⠀Com essas matrizes nosso objetivo será calcular cada operação proposta nos itens de a) à h). Mas antes de prosseguir é preciso saber que:

• a soma/diferença de duas matrizes só é possível se ambas tiverem as mesmas dimensões;
• o produto de duas matrizes só é possível se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz;
• o determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado através da regra de Sarrus (será melhor explicada no item f)).

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a) K + T

⠀⠀Como as matrizes possuem a mesma dimensão, não temos objeção a se fazer (obs.: basta adicionar os elementos de ambas as matrizes em suas respectivas posições):

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$\begin{array}{l}\implies~~~~\sf K+T=\begin{bmatrix}\sf8&\sf8&\sf8\\\sf14&\sf14&\sf14\\\sf20&\sf20&\sf20\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\sf6&\sf7&\sf8\\\sf11&\sf12&\sf13\\\sf16&\sf17&\sf18\end{bmatrix}\\\\\\\implies~~~~\sf K+T=\begin{bmatrix}\sf8+6&\sf8+7&\sf8+8\\\sf14+11&\sf14+12&\sf14+13\\\sf20+16&\sf20+17&\sf20+18\end{bmatrix}\\\\\\\implies~~~~\sf K+T=\begin{bmatrix}\sf16&\sf15&\sf16\\\sf25&\sf26&\sf27\\\sf36&\sf37&\sf38\end{bmatrix}\end{array}$

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b) K – T

⠀⠀Aqui também é a mesma coisa então não temos objeção, podemos prosseguir (obs.: basta subtrair os elementos de ambas as matrizes em suas respectivas posições):

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$\begin{array}{l}\implies~~~~\sf K-T=\begin{bmatrix}\sf8&\sf8&\sf8\\\sf14&\sf14&\sf14\\\sf20&\sf20&\sf20\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\sf6&\sf7&\sf8\\\sf11&\sf12&\sf13\\\sf16&\sf17&\sf18\end{bmatrix}\\\\\\\implies~~~~\sf K-T=\begin{bmatrix}\sf8-6&\sf8-7&\sf8-8\\\sf14-11&\sf14-12&\sf14-13\\\sf20-16&\sf20-17&\sf20-18\end{bmatrix}\\\\\\\implies~~~~\sf K-T=\begin{bmatrix}\sf2&\sf1&\sf0\\\sf3&\sf2&\sf1\\\sf4&\sf3&\sf2\end{bmatrix}\end{array}$

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⠀⠀NOTA: deixei a resolução dos itens c) e d) nas imagens em anexo dessa respostas. Não consegui colocar aqui devido o limite de caracteres ter sido atingido.

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e) det(K)

⠀⠀Aqui precisamos calcular o determinante de K. Veja que temos um caso onde os elementos que compõem as linhas são iguais em cada fileira, ocasionando em fileiras de colunas iguais. Quando isso acontece já sabemos que o determinante será nulo, logo det(K) = 0.

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f) det(T)

⠀⠀Já para calcular o determinante de T podemos usar a regra de Sarrus, onde repetimos as duas colunas iniciais, fazemos a soma do produto da diagonal principal e subtraímos da soma do produto da diagonal secundária:

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⠀$\implies~~~~\sf det(T)=\begin{vmatrix}\sf6&\sf7&\sf8\\\sf11&\sf12&\sf13\\\sf16&\sf17&\sf18\end{vmatrix}\begin{matrix}\sf6&\sf7\\\sf11&\sf12\\\sf16&\sf17\end{matrix}$

⇒ det(T) = 6.12.18 + 7.13.16 + 8.11.17 - (8.12.16 + 6.13.17 + 7.11.18

⇒ det(T) = 1296 + 1456 + 1496 – (1536 + 1326 + 1386)

⇒ det(T) = 4248 – 4248

⇒ det(T) = 0

g) det(K · T)

⠀⠀Pelo teorema de Binet, o determinante do produto de duas matrizes será igual ao produto dos determinantes de cada matriz:

⇒ det(K · T) = det(K) · det(T) = 0 · 0 = 0

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h) a soma de todos os elementos de K

⠀⠀Aqui basta somar os 9 (nove) elementos da matriz K:

⇒ S = 8 + 8 + 8 + 14 + 14 + 14 + 20 + 20 + 20

⇒ S = 24 + 42 + 60

⇒ S = 126