Question

Sejam as matrizes A=[6 2] B=[2 0]
[2 1 ] [0 2]
A equação Det(A-xB)=0, x € R admite :
a) uma raiz de multiciplidade 2
b) uma raiz negativa
c) duas raízes positivas
d) uma raiz nula
Preciso da conta

Answer 1

primeiramente calculamos A-xB, substituindo A e B pelas matrizes...

[6 2] - x*[2 0] = [6 2] - [2x   0] = [ (6-2x)     2   ] 
[2 1]      [0 2]    [2 1]    [0   2x]    [    2     (1-2x)]

agora sabemos que...

A-xB = [ (6-2x)     2   ] 
            [    2     (1-2x)]

vamos calcular o determinante dessa nova matriz, lembrando que o determinante é calculado da seguinte forma:
produto dos elementos da diagonal principal, subtraído pelos elementos da diagonal secundária  

diagonal principal = (6-2x)*(1-2x) = 6-12x-2x+4x^2
diagonal secundária = 2*2 = 4 

(6-12x-2x+4x^2) - (4) =
= 4x^2-14x+2 *podemos simplificar esses valores, dividindo por 2:
= 2x^2-7 x +1 essa equação do segundo grau, fornecido pela determinante da matriz A-xB
Agora vamos analisar o Δ dessa equação, sabendo que...
*se Δ<0, não existe raízes reais
*se Δ=0, existe apenas uma raiz real
*se Δ>0, existem duas raízes reais

Δ = b^2-4*a*c = 49 - 4*2*1
Δ = 41
temos um Δ > 0, portanto concluímos que a equação possui duas raízes reais. Só há uma alternativa que afirma duas raízes...

resposta: letra => C) <=