Question

Sejam as matrizes A= [3 4] e B) [1 1]
[5 7] [1 -1]

Determine:
A) A‐¹ + B‐¹ e B) A‐¹×B‐¹

Me ajudem por favor

Answer 1

Inverso de uma matriz de dimensão 2 ( só para dim 2)

A=

a    b

c    d

det(A)=a*d-b*c   ....Para existir inversa det ≠ 0

A⁻¹ =[ 1/det(A)  ]  * d    -b

                             -c     a    

_____________________________________

a)

det A=3*7-4*5=21-20=1 ..diferente de 0, existe a inversa

A⁻¹ =(1/1) * 7    -4

           -5     3

A⁻¹ =

 7    -4

-5     3

det B= 1*(-1)-1*1 =-1-1=-2 ..diferente de 0, existe a inversa

B⁻¹ =1/(-2)  *  -1    -1

               -1     1

B⁻¹ =1/2  1/2

    1 /2  -1/2

a)

A⁻¹ +B⁻¹=

7,5   -3,5

-4,5    2,5

b)

A⁻¹ *B⁻¹=

7     -4   *    1/2   1/2

-5     3        1/2    -1/2

7*1/2-4*1/2=3/2      7*1/2-4*(-1/2)=11/2

-5*1/2+3*1/2=-2/2    -5*1-3*1=-4

A⁻¹ *B⁻¹=

3/2 11/2

-1       -4

Answer 2

Resposta:

$\textsf{Leia abaixo}$

Explicação passo-a-passo:

$\mathsf{A \times A^{-1} = I}$

${\begin{bmatrix} 3 & 4\\ 5 & 7\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} a & b\\ c & d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}$

$\begin{cases}3a + 4c = 1\\5a + 7c = 0\end{cases}$

$\begin{cases}21a + 28c = 7\\-20a - 28c = 0\end{cases}$

$\mathsf{a = 7}$

$\mathsf{21 + 4c = 1}$

$\mathsf{4c = 1 - 21}$

$\mathsf{4c = -20}$

$\mathsf{c = -5}$

$\begin{cases}3b + 4d = 0\\5b + 7d = 1\end{cases}$

$\begin{cases}21b + 28d = 0\\-20b - 28d = -4\end{cases}$

$\mathsf{b = -4}$

$\mathsf{-12 + 4d = 0}$

$\mathsf{4d = 12}$

$\mathsf{d = 3}$

${\mathsf{A^{-1} =} {\begin{bmatrix} 7 & -4\\ -5 & 3\end{bmatrix}$

$\mathsf{B \times B^{-1} = I}$

${\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} a & b\\ c & d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}$

$\begin{cases}a + c = 1\\a - c = 0\end{cases}$

$\mathsf{a = c}$

$\mathsf{2c = 1}$

$\mathsf{c = \dfrac{1}{2}}$

$\begin{cases}b + d = 0\\b - d = 1\end{cases}$

$\mathsf{2b = 1}$

$\mathsf{b = \dfrac{1}{2}}$

$\mathsf{d = -\dfrac{1}{2}}$

${\mathsf{B^{-1} =} {\begin{bmatrix} 1/2 & 1/2\\ 1/2 & -1/2\end{bmatrix}$

$\mathsf{A^{-1} + B^{-1}} = {\begin{bmatrix} 7 & -4\\ -5 & 3\end{bmatrix} + {\begin{bmatrix} 1/2 & 1/2\\ 1/2 & -1/2\end{bmatrix} = {\begin{bmatrix} 15/2 & -7/2\\ -9/2 & 5/2\end{bmatrix}$

$\mathsf{A^{-1} \times B^{-1}} = {\begin{bmatrix} 7 & -4\\ -5 & 3\end{bmatrix} \times {\begin{bmatrix} 1/2 & 1/2\\ 1/2 & -1/2\end{bmatrix} = {\begin{bmatrix} 3/2 & 11/2\\ -1 & -4\end{bmatrix}$