Question

Sejam as matrizes


A = 1 2

2 6

e

M = x -1

-1 y

Onde x e y são números reais e M é a matriz inversa de A. Então, qual o valor

de x + y = ?

a) 3/2

b) 7/4

c) 1/2

d) 3/4

e) 7/2

Explique com resolucão

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre matrizes.

Sejam as matrizes: $A=\begin{bmatrix}1&2\\2&6\\\end{bmatrix}$ e $M=\begin{bmatrix}x&-1\\-1&y\\\end{bmatrix}$. Sabendo que $M=A^{-1}$, devemos determinar o valor da expressão $x+y$.

Para isso, calcularemos a matriz inversa de $A$ e comparamos com $M$, de modo que encontremos os valores das incógnitas $x$ e $y$.

Utilizaremos o método da matriz adjunta. Lembre-se que, dada uma matriz invertível, isto é, cujo determinante é diferente de zero, sua matriz inversa é calculada por: $A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\cdot adj(A)$, em que $adj(A)=[C_{ij}]^T$ é a matriz adjunta, matriz transposta dos cofatores da matriz original.

Os cofatores são calculados pela fórmula: $(-1)^{i+j}\cdot\det(D_{ij})$, em que $D_{ij}$ é a matriz formada pelos elementos restantes ao retirarmos a linha $i$ e $j$ do elemento que calculamos o cofator.

Utilizando esta fórmula, sabendo que $A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{bmatrix}$, calculamos os cofatores de $A$:

$C_{11}=(-1)^{1+1}\cdot|6|=(-1)^2\cdot 6=6\\\\\\ C_{12}=(-1)^{1+2}\cdot|2|=(-1)^3\cdot 2=-2\\\\\\ C_{21}=(-1)^{2+1}\cdot|2|=(-1)^3\cdot 2=-2\\\\\\ C_{22}=(-1)^{2+2}\cdot|1|=(-1)^4\cdot1=1$

Montamos a matriz adjunta:

$adj(A)=\begin{bmatrix}C_{11}&C_{21}\\C_{12}&C_{22}\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6&-2\\-2&1\\\end{bmatrix}$

Então, calculamos o $\det(A)$, lembrando que o determinante de uma matriz de ordem $2$ é calculada pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária:

$\det(A)=\begin{vmatrix}1&2\\2&6\\\end{vmatrix}=1\cdot6-2\cdot2=6-4=2$

Substituindo estes resultados na fórmula para a matriz inversa, teremos:

$A^{-1}=\dfrac{1}{2}\cdot\begin{bmatrix}6&-2\\-2&1\\\end{bmatrix}$

Lembre-se que o produto de um termo constante por uma matriz é dado por: $k\cdot \begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}k\cdot b_{11}&k\cdot b_{12}\\k\cdot b_{21}&k\cdot b_{22}\\\end{bmatrix}$. Assim, teremos:

$A^{-1}=\begin{bmatrix}\dfrac{1}{2}\cdot6&\dfrac{1}{2}\cdot(-2)\\\\ \dfrac{1}{2}\cdot(-2)&\dfrac{1}{2}\cdot1\\\end{bmatrix}\\\\\\ A^{-1}=\begin{bmatrix}3&-1&\\\\-1&\dfrac{1}{2}\\\end{bmatrix}$

Por fim, igualando $M=A^{-1}$, temos:

$\begin{bmatrix}x&-1\\-1&y\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3&-1&\\\\-1&\dfrac{1}{2}\\\end{bmatrix}$

Igualando os elementos respectivos das matrizes, temos:

$x=3$ e $y=\dfrac{1}{2}$.

Finalmente, somando os valores, teremos:

$x+y=3+\dfrac{1}{2}\\\\\\ x+y=\dfrac{3\cdot2+1}{2}\\\\\\ x+y=\dfrac{6+1}{2}\\\\\\ x+y=\dfrac{7}{2}~~\checkmark$

Este é o valor que buscávamos e é a resposta contida na letra e).