Question

Sejam as funções reais g(x) = 2x - 3 e fog = 2$x^{2}$ - 4x + 1. Determinar a lei da função f.

Answer 1

Temos as seguintes informações:

$\left\{ \begin{array}{lc} g(x)=2x-3&\;\;\mathbf{(i)}\\ \\ (f\circ g)(x)=2x^{2}-4x+1&\;\;\mathbf{(ii)} \end{array} \right.$


Isolando $x$ na equação $\mathbf{(i)},$ temos

$2x=g(x)+3\\ \\ x=\dfrac{g(x)+3}{2}\;\;\;\;\;\mathbf{(iii)}$


Da equação $\mathbf{(ii)},$ temos que

$f(g(x))=2x^{2}-4x+1$


Substitituindo na expressão acima o $x$ pelo que foi obtido na equação $\mathbf{(iii)},$ temos

$f(g(x))=2\cdot \left(\dfrac{g(x)+3}{2} \right )^{2}-4\cdot \left(\dfrac{g(x)+3}{2} \right )+1$


Para evitar ficar carregando $g(x)$ por todos os cálculos, façamos $g(x)=t$ na equação acima. Então, ficamos com

$f(t)=2\cdot \left(\dfrac{t+3}{2} \right )^{2}-4\cdot \left(\dfrac{t+3}{2} \right )+1\\ \\ \\ f(t)=2\cdot \dfrac{(t+3)^{2}}{4}-\dfrac{4\cdot (t+3)}{2}+1\\ \\ \\ f(t)=2\cdot \dfrac{t^{2}+6t+9}{4}-\dfrac{4t+12}{2}+1\\ \\ \\ f(t)=\dfrac{t^{2}+6t+9}{2}-\dfrac{4t+12}{2}+1$


Reduzindo todos os termos ao mesmo denominador, temos

$f(t)=\dfrac{t^{2}+6t+9-(4t+12)+2}{2}\\ \\ \\ f(t)=\dfrac{t^{2}+6t+9-4t-12+2}{2}\\ \\ \\ f(t)=\dfrac{t^{2}+2t-1}{2}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c}f(t)=\dfrac{1}{2}\,t^{2}+t-\dfrac{1}{2} \end{array}}$