Question

Sejam as funções reais g(x) = 2x-3 e (f o g)(x) = 2x²-4x+1 . Determine a lei da função f(x).

Answer 1

A lei da função f(x) é f(x) = x²/2 + x - 1/2.

Sendo f(x) = ax² + bx + c e g(x) = 2x - 3, temos que a função composta f(g(x)) é igual a:

f(2x - 3) = a(2x - 3)² + b(2x - 3) + c

f(2x - 3) = a(4x² - 12x + 9) + b(2x - 3) + c.

f(2x - 3) = 4ax² - 12ax + 9a + 2bx - 3b + c

f(2x - 3) = 4ax² + x(-12a + 2b) + (9a - 3b + c)

Porém, sabemos que f(g(x)) = 2x² - 4x + 1. Então:

2x² - 4x + 1 = 4ax² + x(-12a + 2b) + (9a - 3b + c).

Assim, obtemos as seguintes condições:

4a = 2

-12a + 2b = -4

9a - 3b + c = 1.

Da primeira condição, temos que a = 1/2.

Substituindo o valor de a na segunda condição:

-6 + 2b = -4

2b = 2

b = 1.

Substituindo os valores de a e b na terceira condição:

9/2 - 3 + c = 1

c = 1 - 9/2 + 3

c = 4 - 9/2

c = -1/2.

Portanto, a função f é igual a f(x) = x²/2 + x - 1/2.