Question

Sejam as funções reais g e f o g definidas por g(x) = 2x - 3 e
$\left(f \circ g\right)(x) = \left\{^{4x^2-6x-1\,\,se \,\,x\geq 1}_{4x+3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,se\,\, x \ \textless \ 1}$
Obtenha a lei que define f.

Answer 1

Resposta:

Inicialmente, vamos expressar $x$ em função de $g(x):$

$g(x) = 2x - 3\\\\\Longleftrightarrow 2x = g(x) + 3\\\\\Longleftrightarrow x = \frac{\big{g(x) + 3}}{\big{2}}.$

(Guardemos essa expressão, pois ela será necessária quando formos obter $f(x)$ a partir de $(f \circ g)(x)$.)

Como $f \circ g$ é expressa por meio de duas sentenças abertas, devemos esperar que $f$ também o seja.

Avaliemos os dois casos.

Na primeira expressão, $f \circ g$ é definida no intervalo $\left[1, +\infty \right[$. Assim, devemos encontrar quais são as imagens geradas por $g$ quando $x$ está nesse intervalo:

$x \geq 1 \Leftrightarrow 2x \geq 2 \Leftrightarrow 2x - 3 \geq -1 \Leftrightarrow g(x) \geq -1.$

Encontremos a expressão de $f$ no intervalo $\left[ -1, \infty \right[:$

$\left( f \circ g \right)(x) = 4x^2 -6x -1\\\\\Longleftrightarrow \left( f \circ g \right)(x) = 4 \left(\frac{\big{g(x)+3}}{\big{2}} \right)^2 - 6 \left(\frac{\big{g(x)+3}}{\big{2}} \right) -1\\\\\Longleftrightarrow \left( f \circ g \right)(x) = 4 \left(\frac{\big{g^2(x)+6g(x)+9}}{\big{4}}\right) -3\left(g(x) + 3\right) - 1\\\\\Longleftrightarrow \left( f \circ g \right)(x) = g^2(x) + 6g(x) + 9 - 3g(x) - 9 - 1$

$\Longleftrightarrow \left( f \circ g \right)(x)= g^2(x) + 3g(x)-1\\\\\Longrightarrow \boxed{f(x) = x^2 + 3x - 1.}$

Na segunda expressão, $f \circ g$ é definida no intervalo $\left] -\infty, 1 \right[.$ Assim, devemos encontrar quais são as imagens geradas por $g$ quando $x$ está nesse intervalo:

$x < 1 \Leftrightarrow 2x < 2 \Leftrightarrow 2x - 3 < -1 \Leftrightarrow g(x) < -1.$

Encontremos a expressão de $f$ no intervalo $\left] -\infty, -1 \right[:$

$\left( f \circ g \right)(x) = 4x + 3\\\\\Longleftrightarrow \left( f \circ g \right)(x) = 4 \left(\frac{\big{g(x)+3}}{\big{2}} \right) + 3\\\\\Longleftrightarrow \left( f \circ g \right)(x) = 2g(x) + 6 + 3\\\\\Longleftrightarrow \left( f \circ g \right)(x) = 2g(x) + 9\\\\\Longrightarrow \boxed{f(x) = 2x + 9.}$

Em resumo:

$\boxed{\boxed{f(x) = \left\{^{^{\big {x^2 + 3x - 1\:\:\:se\:\:x \geq -1}}}_{_{\big {2x + 9\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:se\:\:x < -1}}}}}$