Question

Sejam as funções reais f e g, definidas por f(x)= x² +4x -5 e g(x)= 2x-3

1. Obtenha as leis que definem f(g(x)) e g(f(x))

2. Calcule f(g(2)) e g(f(2))

3. Determine os valores do domínio da função f(g(x)) que produzem imagem 16


Gabarito em anexo

Answer 1

QUESTÃO - 1a)

temos as funções:

f(x) = x² + 4x - 5
g(x) = 2x - 3

pretendemos saber f(g(x))

substituindo:

f(g(x)) =  (2x - 3)² + 4(2x - 3) - 5

desenvolvendo o caso notável

f(g(x)) =  (4x² - 12x + 9) + 4(2x - 3) - 5

f(g(x)) =  4x² - 12x + 9 + 8x - 12 - 5

f(g(x)) =  4x² - 4x - 8

..podemos simplificar embora não seja pedido no gabarito = x² - x - 2


QUESTÃO - 1b)

temos as funções:

f(x) = x² + 4x - 5
g(x) = 2x - 3

pretendemos saber g(f(x))

substituindo:

g(f(x)) = 2(x² + 4x - 5) - 3

g(f(x)) = 2x² + 8x - 10 - 3

g(f(x)) = 2x² + 8x - 13


QUESTÃO - 2a)

temos as funções:

f(x) = x² + 4x - 5
g(x) = 2x - 3

pretendemos saber f(g(2))

como g(2) = 2(2) - 3 = 4 - 1 = 1

substituindo

f(g(2)) =  (1)² + 4(1) - 5

f(g(2)) = 0


QUESTÃO - 2b)

temos as funções:

f(x) = x² + 4x - 5
g(x) = 2x - 3

pretendemos saber g(f(2))

como f(2) = (2)² + 4(2) - 5 = 4 + 8 - 5 = 7

g(f(2)) = 2(7) - 3 

g(f(2)) = 14 - 3

g(f(2)) = 11


QUESTÃO - 3

temos as funções:

f(x) = x² + 4x - 5
g(x) = 2x - 3

..pretendemos saber os valores do domínio da função f(g(x)) que produzem imagem 16

...ou seja pretendemos saber as raízes da equação que resulta de igualarmos f(g(x) a "16"

sabemos da questão acima que:

f(g(x)) =  4x² - 4x - 8

igualando a 16

16 = 4x² - 4x - 8

0 = 4x² - 4x - 8 - 16

0 = 4x² - 4x - 24

aplicando a fórmula resolvente encontramos:

x₁ = - 2  e x₂ = 3

assim o domínio da função para f(g(x)) = 16 ..são x = - 2 e x = 3

Confirmando:

0 = 4(3)² - 4(3) - 24
0 = 4.9 - 12 - 24
0 = 36 - 36
0 = 0
...
0 = 4(-2)² - 4(-2) - 24
0 = 4.4 + 8 - 24
0 = 16 + 8 - 24
0 = 0

...o gabarito apresentado está errado


Espero ter ajudado